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Exercícios Resolvidos de Energia no MHS

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Exercício 58123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657596061626364656667686970

Enunciado

Duas massas m 0 e m 1 = 1 4 m 0 são postas para oscilar, presas a molas idênticas, respectivamente com energias E 0 e E 1 = 4 E 0 . Sobre os períodos de oscilação τ i , as amplitudes do movimento A i e sobre as velocidades máximas atingidas v i , podemos afirmar que

  1. τ 1 > τ 0 , A 1 > A 0 , v 1 > v 0
  2. τ 1 > τ 0 , A 1 > A 0 , v 1 < v 0
  3. τ 1 > τ 0 , A 1 < A 0 , v 1 > v 0
  4. τ 1 > τ 0 , A 1 < A 0 , v 1 < v 0
  5. τ 1 < τ 0 , A 1 > A 0 , v 1 > v 0
  6. τ 1 < τ 0 , A 1 > A 0 , v 1 < v 0
  7. τ 1 < τ 0 , A 1 < A 0 , v 1 > v 0
  8. τ 1 < τ 0 , A 1 < A 0 , v 1 < v 0

Passo 1

No movimento harmônico simples de um sistema massa-mola, a frequência angular é:

ω = k m

Onde

ω = 2 π f = 2 π τ

Já a energia total do sistema (potencial elástica mais cinética) é constante ao longo de todo o movimento:

E = E p + E c = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2

E = 1 2 k A 2

Onde A é a amplitude do movimento.

Passo 2

Quanto aos períodos de oscilação:

τ = 2 π m k

Então,

τ 0 = 2 π m 0 k

E como m 1 = m 0 / 4 :

τ 1 = 2 π m 1 k = 2 π m 0 4 k

τ 1 = 1 4 2 π m 0 k = τ 0 2

Logo, τ 1 < τ 0 .

Passo 3

Para determinar as amplitudes, vamos usar a expressão da eneriga total, isolando A :

A = 2 E k

Então,

A 0 = 2 E 0 k

E, como E 1 = 4 E 0 :

A 1 = 2 E 1 k = 8 E 0 k

A 1 = 4 2 E 0 k   = 2 A 0

Então,

A 1 > A 0

Passo 4

Falta só calcular a velocidade!

Para isso, vamos usar o fato de que na posição de equilíbrio ( x = 0 ), a mola está relaxada, logo, a energia potencial elástica é zero, e consequentemente, a energia cinética será máxima:

E ( x = 0 ) = E p + E c

E ( x = 0 ) = 0 + E c m a x

1 2 k A 2 = 1 2 m v m a x 2

v m a x = A k m

Então,

v 0 = A 0 k m 0

Usando que m 1 = m 0 / 4 e que A 1 = 2 A 0 :

v 1 = A 1 k m 1 = 2 A 0 4 k m 0

v 1 = 2 4   A 0 k m 0

v 1 = 4 v 0

Então, v 1 > v 0 .

Resposta

(e) τ 1 < τ 0 , A 1 > A 0 , v 1 > v 0

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