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Exercícios Resolvidos de Energia no MHS

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, UFMG - Problemas sobre Oscilador Harmônico, Questão 3b

Um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A.

b)Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo e qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar para um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A, quantas vezes em cada ciclo a energia potencial elástica é igual a energia cinética e qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências. Temos que lembrar que cada ciclo possui um período igual a 2 π .

Então vamos lá!

Passo 2

Então, temos que para a energia cinética ser igual a potencial a seguinte igualdade deve ser atendida:

1 2 m v 2 = 1 2 m ω 2 x 2

v 2 = ω 2 x 2

Substituindo a velocidade e a posição:

A 2   ω 2   c o s 2 ( ω t ) =   ω 2 A 2 s e n 2 ( ω t )

Assim,

c o s ( ω t ) = s e n ( ω t )

Essa igualdade ocorre para

c o s ( π 4 ) = s e n ( π 4 ) = 1 2

e para múltiplos impares do angulo π 4

c o s ( 3 ( π 4 ) ) = s e n ( 3 ( π 4 ) ) = 1 2

c o s ( 5 ( π 4 ) ) = s e n ( 5 ( π 4 ) ) = 1 2

c o s ( 7 ( π 4 ) ) = s e n ( 7 ( π 4 ) ) = 1 2

dentro do ciclo de tempo 2 π , temos essas 4 ocorrencias.

Passo 3

Então, para calcular o tempo entre duas ocorrências, vamos calcular o tempo em cada uma delas e avaliar a diferença entre eles

c o s ( π 4 ) = c o s ( ω t 1 )

c o s ( 3 π 4 ) = c o s ( ω t 2 )

Assim,

t 1 = π 4 ω

t 2 = 3 π 4 ω

Então,

t 2 - t 1 = 3 π 4 ω - π 4 ω = 2 π 4 ω = π 2 ω

Então o intervalo de ocorrência é π 2 ω .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

4 ; π 2 ω .

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