Considere um oscilador harmônico simples, inicialmente na posição de equilíbrio, e as três condições abaixo:

I. x ˙ (0) = 0;

II. x ˙ (0) = v0;

III. x ˙ (0) = 2v0.

Marque a alternativa correta:

(a) Em todos os casos o corpo ficará sempre parado, pois já está na posição de equilíbrio.

(b) O corpo atingirá o deslocamento máximo em menos tempo no caso III.

(c) O corpo oscilará com a mesma amplitude nos casos II e III.

(d) A energia mecânica total do oscilador no caso III é o dobro da do caso II.

(e) O corpo atingirá o deslocamento máximo ao mesmo tempo nos casos II e III.

Passo 1

Como é o mesmo oscilador harmônico, teremos a mesma massa, o mesmo k e o mesmo ω nos três casos. Vamos analisar todas as alternativas.

a) Não! Só no caso 1 o corpo ficará parado. Apesar de estar na posição de equilíbrio, a velocidade é diferente de zero nos outros dois casos.

b) Não! Lembre que ω não mudou, então o período também não vai mudar.

c) No caso II:

x ˙ 1 t = - A 1 ω   s e n ω t + φ

x ˙ 1 0 = - A 1 ω   s e n φ = v 0

No caso III:

x ˙ 2 t = - A 2 ω   s e n c

x ˙ 2 0 = - A 2 ω   s e n φ = 2 v 0

Então:

- A 2 ω   s e n φ = - 2 A 1 ω   s e n φ

A 2 = 2 A 1

Ou seja, a afirmativa tá errada!

d) A energia mecânica pode ser escrita:

E = m [ x ˙ ( t ) ] 2 2 + k [ x t ] 2 2

E x(t) é a integral de x ˙ ( t ) . Então:

x 1 t = A 1 cos ⁡ ( ω t + φ )

x 2 t = A 2 cos ⁡ ( ω t + φ )

Substituindo os dois casos:

Caso II:

E 1 = m [ - A 1 ω   s e n ω t + φ ] 2 2 + k [ A 1 cos ⁡ ( ω t + φ ) ] 2

E 1 = m A 1 2 ω 2   s e n 2 ω t + φ 2 + k A 1 2 cos ⁡ ( ω t + φ ) ] 2

Trocando ω 2 = k / m :

E 1 = A 1 2 k   s e n 2 ω t + φ 2 + k A 1 2 cos 2 ⁡ ( ω t + φ ) ] 2

E 1 = A 1 2 k   2

Caso III:

E 2 = m [ - A 2 ω   s e n ω t + φ ] 2 2 + k [ A 2 cos ⁡ ( ω t + φ ) ] 2

E 2 = m A 2 2 ω 2   s e n 2 ω t + φ 2 + k A 2 2 cos ⁡ ( ω t + φ ) ] 2

Trocando ω 2 = k / m :

E 2 = A 2 2 k   s e n 2 ω t + φ 2 + k A 2 2 cos 2 ⁡ ( ω t + φ ) ] 2

E 2 = A 2 2 k   2

E como já achamos que A 2 = 2 A 1 :

E 2 = 2 A 1 2 k   2

E 2 = 4 A 1 2 k   2 = 4 E 1

Então é falsa!

e) É verdadeira! Porque o período se mantém, então ele leva o mesmo tempo pra chegar ao deslocamento máximo.

Resposta

Letra E.

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