UFPE – Física 2 – 2020.2 – P4 – Exercício 1
Considere um sistema massa-mola com um bloco de de massa preso à extremidade da mola e oscilando com amplitude de , repetindo o movimento a cada . A posição do bloco pode ser descrita por . Sabendo que após do início do movimento, o bloco atinge a sua posição máxima (positiva). Considere as afirmações como verdadeira ou falsa. (Considere ).
a) ( ) A frequência angular do movimento é de aproximadamente .
b) ( ) A constante elástica da mola é aproximadamente .
c) ( ) A energia cinética do sistema é máxima na posição máxima que o bloco atinge.
d) ( ) A energia mecânica do sistema é aproximadamente igual a .
e) ( ) A velocidade máxima que o bloco atinge é de aproximadamente .
f) ( ) Podemos determinar que a constante de fase é igual a .
Passo 1
Fala galerinha, beleza? Prontos para fazer uma questão de prova sobre MHS?
Só para lembrar rapidinho o que acontece num sistema massa-mola, escrevemos a segunda lei de Newton para esse tipo de sistema:
Definimos , de modo que
A solução dessa equação diferencial é
onde e são constantes determinadas pela condição inicial. No caso, representa a amplitude, de modo que
Além disso, o enunciado disse “repetindo o movimento a cada ”. Essa informação é o período de oscilação:
Sabemos que o período se relaciona com a frequência angular por
Com isso,
Usando , achamos
Desta forma, vemos que a afirmativa (a) é VERDADEIRA!
Passo 2
Para verificar a afirmativa (b), basta lembrar que
Usando e :
Como , temos
Portanto, a afirmativa (b) também é VERDADEIRA!
Passo 3
Já a afirmativa (c) é FALSA! Na posição de deformação máxima da mola (ponto de retorno), a velocidade é nula, de modo que a energia cinética é mínima (nula), não máxima. Lembre-se que a energia mecânica é conservada, de modo que a soma da energia cinética com a energia potencial elástica é constante ao longo do movimento:
Quando é máximo, é mínimo, e vice versa. No ponto de máxima deformação, a energia potencial elástica é máxima, de modo que a energia cinética é mínima.
Podemos usar essa mesma ideia para calcular a energia mecânica do sistema:
Como , podemos escolher uma posição conveniente para fazer essa conta. Vamos escolher o ponto de deformação máxima da mola, onde e
Portanto,
Substituindo os valores:
Com isso, vemos que a afirmativa (d) é VERDADEIRA!
Passo 4
Para achar a velocidade máxima, basta lembrar que isso ocorre na posição em que (deformação nula na mola). Nessa posição, apenas a energia cinética contribui para a energia mecânica:
Usando e , temos
Portanto, a afirmativa (e) também é VERDADEIRA!
Passo 5
Agora falta só o item (f) para encerrarmos o problema. Temos que descobrir o valor de .
Sabemos que
Como e , podemos escrever
Agora vem o pulo do gato: o enunciado disso que para , temos . Logo,
Com isso,
Para que o cosseno seja um, o argumento deve ser nulo:
Isso mostra que a afirmativa (f) também é VERDADEIRA!
Resposta
(a) V (b) V (c) F (d) V (e) V (f) V