Uma plataforma gira com velocidade constante ω em torno do eixo perpendicular ao seu centro. O referencial girante S ' tem origem no centro da plataforma e gira com a mesma velocidade ω . Uma mola ideal de constante k está presa na origem do referencial S ' com uma massa M presa a outra extremidade. A massa pode deslocar-se sem atrito apenas radialmente apenas no interior de duas guias laterais. Inicialmente a massa está presa por um pino de segurança à uma distância R da origem e a mola encontra-se relaxada.

  1. Determine a posição de equilíbrio da massa a partir da posição inicial quando o pino de segurança for removido.
  2. Determine o vetor da força no referencial S ' que a massa aplicará nas guias radiais quando passar pelo ponto de equilíbrio pela primeira vez.
  3. Qual será a força aplicada nas guias quando a massa atingir o seu deslocamento máximo?

Passo 1

a):

Beleza galera, pra acharmos essa posição, vamos ter que descobrir o que acontece de fato na posição de equilíbrio:

Nessa posição teremos o somatório de forças igual à zero, na direção radial, igual a zero.

E quais são as forças que agem na direção radial?

Tem a força peso e a força centrífuga, considerando-se o referencial não inercial girante que acompanha o sistema.

Então:

F c e n t = M ω 2 R + x

F e l = K x

Quem é x ? x é a elongação da mola. Além disso, na força centrífuga nós usamos R + x pois essa é a distância total que vai do centro do disso até a posição da partícula deslocada.

Como há equilíbrio, as forças precisam se anular e , portanto, serem iguais:

M ω 2 R + x = K x

x = M ω 2 R K - M ω 2

E esse é o valor da amplitude do movimento.

Mas em relação ao ponto O ' , precisamos acrescentar o valor de R :

x + R = M ω 2 R K - ω 2 + R

Lembrando que essa massa está realizando um MHS.

Passo 2

b):

A força que a amassa aplicará nas guias será a força de coriolis. Essa força é dada por:

F c o r = 2 M v → x ω →

Só precisamos descobrir v , ou seja, a velocidade da massa na posição de equilíbrio.

Na posição de equilíbrio, a velocidade será máxima. Isso é, sendo a energia mecânica dada por:

E M = K x 2 2

Na posição de equilíbrio toda a energia mecânica será cinética:

E C = E M

M v 2 2 = K x 2 2

v = x . K M

Usando o valor de x do item anterior:

v = M ω 2 R K - ω 2 . K M

Basta a gente substituir esse valor na fórmula. No entanto, precisamos determinar o sentido também.

Na primeira vez que passar pelo ponto de equilíbrio, a força será sobre a guia A , pois a velocidade v é para fora da plataforma, portanto sentido – ê θ :

F → c o r = 2 M . M ω 2 R K - ω 2 . K M . ω ( - ê θ )

Passo 3

c):

No deslocamento máximo não há velocidade, momentaneamente. É aquele ponto do MHS que a partícula muda de trajetória. Então, jogando na fórmula de coriolis v = 0 :

F c o r = 2 M v → x ω →

F c o r = 0

Resposta

a):

M ω 2 R K - ω 2 + R

b):

F → c o r = 2 M . M ω 2 R K - ω 2 . K M . ω ( - ê θ )

c):

F c o r = 0

Exercícios de Livros Relacionados