O gráfico abaixo mostra a aceleração a ( t ) em função do tempo de um corpo de massa m = 3 k g preso a uma mola ideal de constante k em movimento oscilatório. Justificando todas as respostas, determine:

  1. O período de oscilação.
  2. A amplitude do movimento.
  3. A expressão para o deslocamento em função do tempo, x t , em relação ao ponto de equilíbrio.
  4. A velocidade do corpo quando t = 0 .
  5. A energia mecânica do sistema.

Passo 1

a):

Pra descobrirmos o período, basta a gente fazer a variação de tempo entre dois picos sucessivos do gráfico da aceleração.

Então:

T = 7 - 1 = 6 s

Passo 2

b):

No MHS a posição é dada por: x t = A c o s ( ω t + φ ) e a aceleração, a segunda derivada da posição em relação ao tempo, é dada por: a t = - ω 2 A c o s ( ω t + φ ) .

Bom, a aceleração será máxima quando c o s ω t + φ = 1 . Isso é:

a t m á x = ω 2 A

Mas pelo gráfico, o módulo da aceleração máxima é 10 m / s 2 . Vamos usar esse valor e o valor de ω pra calcular A .Então;

ω = 2 π T = 2 π 6 = π 3

Logo:

10 = π 3 2 A   → A = 90 π 2 c m = 0,9 π 2 m

Passo 3

c):

Bom, a função tem uma forma:

x t = A c o s ( ω t + φ )

Já temos A e ω . Basta acharmos φ .

Bom, sabemos o valor de a ( t ) quando t = 0 .

Isso é :

a t = - ω 2 A c o s ( ω t + φ )

t = 0 → a 0 = - ω 2 A c o s φ = 5

- π 2 9 . 90 π 2 cos ⁡ φ = 5

cos ⁡ φ = - 1 2 →   φ = 2 π 3 ou φ = 4 π 3

Bom, podemos pegar agora outro ponto, como t = 1 , pra gente descobrir qual dos dois ângulos é o que procuramos.

a 1 = + 10

- 10 cos ⁡ π 3 + φ = + 10 ↔ π 3 + φ = π → φ = 2 π 3

Logo:

x t = 90 π 2 cos ⁡ π 3 t + 2 π 3

Passo 4

d):

A velocidade será a derivada de x t :

v t = - π 3 . 90 π 2 s e n π 3 t + 2 π 3 = - 30 π s e n π 3 t + 2 π 3

Para t = 0 :

v 0 = - 30 π s e n 2 π 3 = - 30 3 2 π

Passo 5

e):

Pro cálculo da energia mecânica do sistema nós podemos usar a teoria que diz:

E P + E C = m g h + m v 2 2 = E M = k A 2 2

Mas qual é o valor numérico de k ? Bom, sabemos que ω é dada por:

ω = k m   → k = ω 2 m

Como ω = π 3 e m = 3 k g :

k = π 3 2 . 3 = π 2 3

Então, lembrando que A = 0,9 π 2 :

E M = k A 2 2 = π 2 3 . 0,9 π 2 2 2 = 1 2 . π 2 3 . 0,81 π 4 = 0,27 2 π 2 J

Resposta

a):

6 s

b):

A = 90 π 2 c m = 0,9 π 2 m

c):

x t = 90 π 2 cos ⁡ π 3 t + 2 π 3

d):

- 30 3 2 π

e):

E M = 0,27 2 π 2 J

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