Uma partícula que pode-se mover livremente ao longo do eixo x têm uma energia potencial da forma
Onde é uma constante positiva. Para posições da partícula na região , onde também é uma constante positiva, pode-se dizer que:
- Para pequenos deslocamentos em relação a , o movimento é harmônico simpes com constante elástica
- Se x é não-nulo (), existe uma força que faz que a partícula fique cada vez mais distante de .
- Se a energia mecânica total é , a energia cinética é mínima em .
- Para pontos distantes da origem, a partícula está em equilíbrio instável.
- Para pequenos deslocamentos em relação a , o movimento é harmônico simples com constante elástica .
Passo 1
Para o movimento harmônico simples, a energia potencial tem a forma
Onde o ponto de equilíbrio é o mínimo (derivada igual a zero) dessa função (), e esse equilíbrio é estável, pois a função é côncava para cima (derivada segunda é positiva).
O módulo da força derivada deste potencial é
Que é uma força restauradora.
Vamos aplicar essas mesmas análises para o potencial do enunciado!
Passo 2
O ponto de equilíbrio dessa equação é
Então o único ponto de equilíbrio é , logo “(d) Para pontos distantes da origem, a partícula está em equilíbrio instável.” Está errado.
A força gerada por esse potencial vai ser
Que é uma força restauradora: faz com que a partícula retorne ao ponto de equilíbrio. Então, “(b) Se x é não-nulo , existe uma força que faz que a partícula fique cada vez mais distante de x=0” é errado!
Passo 3
Se observarmos a derivada segunda nesse ponto:
É um ponto de equilíbrio estável: energia potencial mínima. Logo, a energia cinética vai ser máxima. “(c) Se a energia mecânica total é β/2, a energia cinética é mínima em x=0” também está errada.
E comparando a derivada segunda que acabamos de calcular com aquela do movimento harmônico simples, vemos que para pequenos deslocamentos em relação ao ponto de equilíbrio:
Resposta
- Para pequenos deslocamentos em relação a x=0, o movimento é harmônico simpes com constante elástica 2β.