Considere o sistema abaixo formado por um bloco de massa m e duas molas, cada uma de constante elástica k . Este sistema está executando um movimento harmônico simples (MHS) cujo gráfico da posição como função do tempo também está ilustrado abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as afirmações a seguir.

(I) Se na superfície da Terra, a frequência natural do sistema ´e ω , quando este é transportado para o espaço interestelar, a frequência ω j <   ω ;

(II) Em t = 0 , o sistema está se movendo com velocidade positiva e energia potencial diferente de zero;

(III) Como o sistema está executando um MHS, o período de oscilação é   T = 2 π m - k

(IV) Dado que no problema acima as molas estão associadas em paralelo, a frequência angular do MHS é   ω = 2 k - m -

(V) Se a constante elástica de uma das molas fosse 3 k enquanto a da outra mola fosse k , a frequência de oscilação do sistema seria o dobro.

(VI) Se agora há uma força dissipativa proporcional à velocidade se opondo ao movimento do sistema, as amplitudes de oscilação terão decaimento exponencial com o tempo e a frequência da oscilação será menor que a frequência de uma oscilação livre.

Passo 1

(I) Falsa: No MHS estamos desconsiderando qualquer força dissipativa. Portanto, estar na superfície da Terra ou no espaço leva à mesma frequência angular, pois em ambos os casos a energia mecânica do sistema é conservada e frequência angular só depende das características do sistema massa-mola;

(II) Verdadeira: A forma da curva de x ( t )   v s   t nos mostra que o sistema está se deslocando para a máxima amplitude, sendo assim, sua velocidade é positiva. Pela derivada da curva podemos também observar que a velocidade deve ser positiva;

(III) Falsa: Fazendo um diagrama de forças na situação em que a mola se encontra a uma distância x da posição de equilíbrio e aplicando a segunda lei de Newton, vemos que:

m d 2 x d x 2 = - 2 k x

d 2 x d x 2 + ω 2 x = 0

Deste modo, ω = 2 k m   . Sabemos que o período é dado por:

T = 2 π ω = 2 π m 2 k  

(IV) Verdadeira: Pelo que vimos antes,   ω = 2 k m   .

(V) Falsa: Para duas molas de mesma constante elástica, vimos que ω = 2 k m   .

Como ω = 2 π f :

f = 2 π 2 k m  

Para a situação onde k 1   =   k   e   k 2   =   3 k , repetindo os passos em (III), chegamos a uma frequência angular: ω ' = 4 k m   . Portanto:

f ' = 2 π 4 k m   ≠ 2 f

(VI) Verdadeira: Vimos nos tópicos de ondas que:

x t = x m e - b t 2 m   c o s ( ω ' t   +   φ ) ;

Com

ω ' = k m - b 2 4 m 2   .

No caso deste problema, vemos que:

ω ' = k m - b 2 4 m 2   < ω .

Resposta

(FVFVFV)

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