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Exercícios Resolvidos de Energia no MHS

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Enunciado

UTFPR – Física 2 – P2 2020.2 – Questão 4

Um sistema bloco-mola realiza um MHS com frequência 21   H z . Se o ângulo de fase é π 12 r a d e a posição do bloco é dada por x = x m . cos ⁡ ω t + ϕ , qual é a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante t = 2,0   s ?

a) 0,26795

b) Nenhuma das demais alternativas

c) 0,04518

d) 0,07180

e) 0,33333

Passo 1

Oiii pessoal, vamos lá?

Essa questão pede a razão entre a energia cinética K e a energia potencial U em t = 2   s

Pra começar, a expressão da energia cinética é

K = m v 2 2

Enquanto a da energia potencial em um sistema massa-mola é

U = k x 2 2

Então a razão entre elas vai ser

K U = m v 2 2 k x 2 2 = m v 2 k x ²

Boaaa, agora só precisamos encontrar esses termos pra substituir né hehehe

Passo 2

Primeiramente, a frequência angular no nosso sistema vai ser dada por

ω = k m

Então

k m = ω ²

m k = 1 ω ²

Logo, a nossa razão já pode ser escrita assim:

K U = m v 2 k x ² = v 2 ω ² x ²

Eba! Chegamos em uma razão que tem algo relacionado à frequência, que é uma variável que já temos hehehe :P agora vamos em busca das outras variáveis

Ainda precisamos de v ² e x ²

Passo 3

O enunciado disse que a posição do bloco é

x = x m . cos ⁡ ω t + ϕ → x 2 = x m 2 . cos ² ⁡ ω t + ϕ

E se derivarmos, podemos encontrar a velocidade:

v = - ω ∙ x m ∙ s e n ω t + ϕ → v 2 = ω ² ∙ x m ² ∙ s e n ² ω t + ϕ

Boaaa, então substituindo x ² e v ² na nossa razão, temos

K U = ω ² ∙ x m ² ∙ s e n ² ω t + ϕ ω ² x m 2 . cos ² ⁡ ω t + ϕ = ω ² ∙ s e n ² ω t + ϕ ω 2 ∙ cos ² ⁡ ω t + ϕ = s e n ² ω t + ϕ cos ² ⁡ ω t + ϕ

Então:

K U = t a n 2 ω t + ϕ

Passo 4

Temos que

K U = t a n 2 ω t + ϕ

Onde ω = 2 π f = 2 π ∙ 21 = 42 π e ϕ = π 12 r a d

Além disso, queremos essa razão quando t = 2   s , então

K U = t a n 2 42 π ∙ 2 + π 12 = t a n 2 84 π + π 12 = 0,07179 ≅ 0,07180

Então, a alternativa correta é a letra d

Resposta

d) 0,07180

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