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Exercícios Resolvidos de Energia no MHS

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Enunciado

MHS

Um sistema massa-mola consiste de um corpo de massa m = 8 k g e uma mola de constante elástica k = 72 N / m . No instante de tempo t = 0 s , a massa do sistema é colocada na posição x 0 = + 0,1 m ( em relação à posição de equilíbrio) com velocidade v 0 = - 0,3 3 m / s . Desprezando quaisquer tipos de atrito, determine:

  1. A frequência de oscilação.
  2. A amplitude de movimento.
  3. A posição em função do tempo x t .
  4. A velocidade em função do tempo v t .
  5. A energia potencial elástica U e a energia cinética K em função do tempo.

Passo 1

Galera, nessa questão nós vamos ter que ter sempre em mente a expressão geral para o MHS:

x ( t ) = A c o s ( ω t + ∅ )

  1. :

    2. Nesse item, queremos a frequência de oscilação. O que é isso? Bem, isso é o nosso f do MHS? Ou O nosso ω ? Bom, frequência de oscilação nos deixou um pouco na penumbra. Geralmente nós damos o nome de frequência angular ou natural para o ω e simplesmente frequência para o f . Como não sabemos, vamos calcular os dois:

    Para calcular ω :

    ω = k m

    O enunciado nos diz os valores de k e m , logo:

    ω = 72 8 = 3 r a d / s

    E como:

    ω = 2 π f

    ∴

    f = ω 2 π = 3 2 π H z

    Vamos deixar as duas como resposta (:.

    Passo 2

  2. :

    3. Vamos usar a conservação de energia pra resolver esse aqui. Nós podemos calcular tanto a energia cinética do sistema como a potencial no momento inicial. Sabendo que:

    k A 2 2 = k x 2 2 + m v 2 2

    A partícula é solta de x = 0,1 m e sua velocidade inicial é v 0 = - 0,3 3 m / s , logo:

    72 A 2 2 = 72 . 0,1 2 2 + 8 - 0,3 3 2 2 = 0.36 + 1.08 = 1.44 J

    ∴

    A 2 = 1.44 36   → A = 0.2 m

    Passo 3

  3. Vamos usar, finalmente, aquela equação que eu falei no início:

    4. x ( t ) = A c o s ( ω t + ∅ )

    Beleza, já temos o A e o ω , agora só falta achar a fase. Vamos usar a equação de cima e a sua derivada pra isso. Por que a derivada? Porque a derivada da posição é velocidade, e sabemos a velocidade inicial:

    x 0 = A c o s ∅ = 0.1 → c o s ∅ = 0.1 A = 0.1 0.2 = 1 2  

    E

    x ˙ t = - ω A s e n ω t + ∅

    ∴

    x ˙ 0 = - ω A s e n ∅ = - 0,3 3   → s e n ∅ = 3 / 2

    A gente pode reconhecer esses valores de seno e cosseno como sendo do ângulo:

    ∅ = π 3

    Vamos unir tudo e escrever o x ( t ) agora:

    x t = 0,2 cos ⁡ 3 t + π 3

    Passo 4

  4. Essa aqui vai ser fácil, pois já temos a função x ( t ) . Basta a gente derivar em relação ao tempo:

    5. x ˙ t = - ω A s e n ω t + ∅ = - 0,6 s e n 3 t + π 3

    Passo 5

  5. Agora a gente só precisa substituir as expressões do deslocamento e da velocidade nas equações das energias potenciais e cinéticas:

U ( t ) = k x 2 2 = k x t 2 2 = k A cos ⁡ ω t + ∅ 2 2 = 1.44 cos ⁡ 3 t + π 3 2 J

K ( t ) = m v 2 2 = m 2 . ω A s e n ω t + ∅ 2 = 1,44 sen ⁡ 3 t + π 3 2 J

Resposta

  1. 3 r a d / s ou 3 2 π H z
  2. 0.2 m
  3. x t = 0,2 cos ⁡ 3 t + π 3
  4. V ( t ) = - 0,6 s e n 3 t + π 3
  5. U t = 1.44 cos ⁡ 3 t + π 3 2 J

K t = 1,44 sen ⁡ 3 t + π 3 2 J

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