UFRJ; Provas Antigas; Álgebra Linear; P2 2022.1; Questão 1
Qual das afirmações abaixo é verdadeira:
- Em um conjunto de vetores é LD se não for gerador.
- Em ,um conjunto com 25 vetores é necessariamente LI.
- Em , um conjunto com 83 vetores pode ser gerador e não se LI.
- Em um conjunto com vetores é necessariamente gerador.
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nessa questão, vamos revisar o conceito de conjuntos geradores de um espaço vetorial.
Nosso objetivo é verificar quais das alternativas são verdadeiras. Vamos começar pela letra a)
A primeira alternativa diz que
Em um conjunto de vetores é LD se não for gerador
E aí, o que vocês acham? É verdade ou não?
Bem, qual é o menor número de vetores LI necessários para gerar ? Serão 42, certo? Então, se temos um conjunto de 42 vetores que NÃO gera . Então pelo menos um desses vetores é LD. Logo o conjunto é LD. Sendo assim, verificamos que a primeira afirmação é verdadeira. Vamos checar o porque as outras são falsas.
Passo 2
Vamos verificar a alternativa b). Ela diz que
Em ,um conjunto com 25 vetores é necessariamente LI.
E aí? Será que é verdade? Podemos tomar um conjunto contendo 25 vetores idênticos, o que claramente será LD. Logo a afirmação é falsa.
No mesmo espírito podemos verificar a alternativa d) que diz que
Em um conjunto com vetores é necessariamente gerador
Novamente, tomando um conjunto com 44 vetores iguais, claramente não irá gerar , já que precisamos de exatamente vetores LI para gerar este espaço.
Passo 3
Por fim, vamos checar a letra c). Ela diz que
Em , um conjunto com 83 vetores pode ser gerador e não se LI.
Bem se o conjunto gera o , então ele precisa conter vetores LI, como o conjunto tem tamanho e gera o espaço, então ele TEM que ser LI. Concluímos assim que a letra c) é falsa
Então temos que a alternativa que contém a afirmação verdadeira é a a)
Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊