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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 15

Seja A   ∈   M 3 ( R ) uma matriz real. Suponha que 1   e   i   sejam raízes do polinômio característico de A e que

K e r ( T   -   I )   =   [ ( 0 ,   1 ,   1 ) ]   e   K e r ( T   -   i I )   =   [ ( 2   +   i ,   1 ,   2 ) ] ,

em que T   :   C 3   →   C 3 denota o operador linear que é representado por A na base canónica de C 3 . Assinale a alternativa correspondente a uma base do espaço das soluções reais do sistema de equações diferenciais

X ' ( t )   =   A X ( t )

  1. { ( 2 e t ,   e t ,   2 e t ) , ( 2 e - t ,   e - t ,   2 e - t ) , ( 0 ,   e t ,   e t ) }
  2. { ( 2   c o s t   -   s e n   t , s e n   t ,   2   s e n   t ) , ( c o s t   +   2   s e n   t ,   c o s t ,   2   c o s t ) , ( 0 ,   e t , �� e t ) } ;  
  3. { ( 2   c o s t   +   s e n   t , s e n   t ,   2   s e n   t ) , ( c o s t   +   2   s e n   t ,   c o s t ,   2   c o s t ) , ( 0 ,   e t ,   e t ) } ;  
  4. { ( 2   c o s t   -   s e n   t , c o s t ,   2   c o s   t ) , ( c o s t   +   2   s e n   t ,   s i n t ,   2 s i n t ) , ( 0 ,   e t ,   e t ) } ;  
  5. { ( e 2 t ,   e 2 t ,   e 2 t ) , ( 0 ,   e t ,   e t ) } }

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez queremos a base do espaço de soluções reais de um sistema de EDO

X ' ( t )   =   A X ( t )

Sabendo que

K e r ( T   -   I )   =   [ ( 0 ,   1 ,   1 ) ]   e   K e r ( T   -   i I )   =   [ ( 2   +   i ,   1 ,   2 ) ] ,

Vamos começar calculando os autovalores e autovetores de A . Bem, o enunciado já nos diz que 1   e   i   são autovalores. Mas como os autovalores complexos vêm em pares com seus conjugados então os três autovalores de A são

1 , i ,   - i

E seus autovetores? Quem são? ora temos que

K e r ( T   -   I )   =   [ ( 0 ,   1 ,   1 ) ]   e   K e r ( T   -   i I )   =   [ ( 2   +   i ,   1 ,   2 ) ] ,

Mas essa é justamente a definição de autovetor. Então os autovetores de A associados aos autovalores 1 , i ,   - i são, respectivamente.

  [ ( 0 ,   1 ,   1 ) ] ,   [ ( 2   +   i ,   1 ,   2 ) ] e   [ ( 2   -   i ,   1 ,   2 ) ]

Passo 2

Agora que temos os autovalores e autovetores. Podemos calcular a solução do sistema de EDO.

A solução de um sistema de EDO, é dada pela soma da solução gerada pelo autovalor real com a solução do autovalor complexo. Então a solução é

X ( t ) = c 1 ( v 1 e 1 t ) + c 2 R e { v 2 e i t } + c 3 i m { v 3 e i t }

= c 1 ( ( 0 ,   1 ,   1 ) e 1 t ) + c 2 R e { ( 2   +   i ,   1 ,   2 ) ( c o s ( t ) + i s i n ( t ) ) } + c 3 i m { ( 2   +   i ,   1 ,   2 ) ( c o s ( t ) + i s i n ( t ) ) }

= c 1 ( ( 0 ,   1 ,   1 ) e 1 t ) + c 2 ( 2 c o s ( t ) - s i n ( t ) ,   c o s ( t ) ,   2 c o s ( t ) ) ) + c 3 ( 2 s i n ( t ) + c o s ( t ) ,   s i n ( t ) ,   2 s i n ( t ) )

podemos observar que temos a combinação 3 vetores. São eles

( 0 ,   e t ,   e t ) , ( 2 c o s ( t ) - s i n ( t ) ,   c o s ( t ) ,   2 c o s ( t ) ) ) ,   ( 2 s i n ( t ) + c o s ( t ) ,   s i n ( t ) ,   2 s i n ( t ) )

E estes vetores estão presentes na alternativa d)

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d)

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