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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 8

Considere os subespaços S 1   e   S 2 do espaço vetorial P 3 ( R ) definidos por:

S 1   = p   ∈   P 3 ( R )   :   p ( 1 )   +   p ( − 1 )   +   p ( − 2 )   =   0 e   S 2   = p   ∈   P 3 ( R )   :   p ′ ( 1 )   +   p ′ ( − 1 )   =   0

Temos que d i m ( S 1   ∩   S 2 ) é igual a:

  1. 2
  2. 1
  3. 3
  4. 0
  5. 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos descobrir a dimensão de d i m ( S 1   ∩   S 2 ) , onde

S 1   = p   ∈   P 3 ( R )   :   p ( 1 )   +   p ( − 1 )   +   p ( − 2 )   =   0 e   S 2   = p   ∈   P 3 ( R )   :   p ′ ( 1 )   +   p ′ ( − 1 )   =   0

Como fazemos isso? Ora, podemos achar uma base para S 1   ∩   S 2 . Vamos fazer isso

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Se A ∈ P 3 ( R ) , então A é da forma:

A ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d

Mas se A ∈ S 1 então

  A ( 1 )   +   A ( − 1 )   +   A ( − 2 ) = 0  

Calculando os valores de A ( x ) , obtemos que

3 a   −   2 b   +   6 c   −   8 d = 0

Em contra partida, temos que:

A ' ( x ) = d d x A ( x )

Como A é um polinômio, temos que

A ' ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c

Agora, se A ∈ S 2 , então

A ′ ( 1 )   +   A ′ ( − 1 )   =   0

Logo

2 b + 6 d = 0

Passo 5

Descobrimos que se A ∈ S 1   ∩   S 2 , então precisamos que

3 a   −   2 b   +   6 c   −   8 d = 0

2 b + 6 d = 0

mas qual é a dimensão desse espaço? Bem, note que temos 2 variáveis livres nesse sistema de equações. Logo, a d i m ( S 1   ∩   S 2 ) = 2 , que é o valor de variáveis livres

Então essa é uma boa dica para gravar. Se os elementos de um espaço vetorial são representados por um sistema. Então o grau de liberdade desse sistema é a dimensão do espaço

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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