USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 3
Sejam considere os subespaços
Temos que é igual a:
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir o valor de
Sabendo que
Bem, mas para fazermos isso precisamos relembrar a seguinte relação entre as dimensões do subespaço gerado pela soma direta de dois subespaços. A relação é a seguinte:
Essa equação diz que quando fazemos a soma das dimensões de dois espaços, acabamos somando as dimensões que eles têm em comum duas vezes.
Agora que temos essa relação, vamos calcular
Passo 2
Bem, vamos começar calculando . A dimensão de um espaço é o número de vetores LI que o espaço tem. Como
Podemos ver que os dois primeiros vetores são LI entre si, mas será que o terceiro vetor também é LI?
Como a terceira entrada do vetor é dois e as terceiras entradas dos outros vetores são zero, não vai existir uma combinação linear entre
que gere . Logo os três vetores são LI. Portanto
Vamos para
Passo 3
Temos que
Ou seja, são os vetores que satisfazem
Temos uma equação e incógnitas, logo temos um sistema com variáveis livres. Isso quer dizer que podemos escolher quaisquer valores para das variáveis e ainda sim podemos resolver o sistema. Dessa forma concluímos que
O número de variáveis livres.
Passo 4
Agora vamos obter , para isso, vamos descobrir qual é essa interseção. Bem para
tem que pertencer a aos dois conjuntos. Então, para verificarmos a dimensão de , só precisamos verificar quais combinações lineares dos elementos da base de estão em . Como
queremos ver quando
Ou seja, quando
Mas para isso acontecer, precisamos que
Temos uma equação com variáveis livres. Logo,
Dessa forma, como
Temos que
Logo
Valor presente na alternativa
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊