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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 14

Seja V o espaço vetorial de todas as funções deriváveis   f   :   [ - π ,   π ]   →   R tais que a derivada f ' seja contínua e   f ( 0 )   =   0 . Considere V munido do produto interno definido por

< f , g > = ∫ - π     π f ' ( x ) g ' ( x ) d x

Para quaisquer f , g ∈ V . Seja W o subespaço vetorial de V gerado por { x ,   s i n ( x ) ,   s i n ( 2 x ) }

Assinale a alternativa correspondente a uma base ortonormal de W .

  1. { 1 2 π ( x   +   x 2 ) , 1 2 π ( x   -   x 2 ) , 1 2 π s e n ( 2 x ) }
  2. { 1 2 π x , 1 π s i n ( x ) , 1 2 π s i n ( 2 x )  
  3. { x ,   s i n ( x ) ,   s i n ( 2 x ) }
  4. { 1 2 π ( 1   +   c o s ( x ) ) , 1 2 π x s i n ( x ) , 1 2 π x s e n ( 2 x ) }
  5. { 1 2 π ( x   +   s i n ( x ) ) , 1 2 π ( x   -   s i n ( x ) ) , 1 2 π s e n ( 2 x ) }

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é construir uma base ortonormal para { x ,   s i n ( x ) ,   s i n ( 2 x ) } . Sabendo que o produto interno nesse espaço é definido como

< f , g > = ∫ - π     π f ' ( x ) g ' ( x ) d x

E aí, como vamos fazer isso? Vamos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Show? Vamos nessa.

Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt de uma base w = { w 1 , w 2 , ⋯ , w n } é feito pelo processo iterativo

v 1 = w 1 / | | w 1 | |

v 2 = w 1 - p r o j v 1 w 1

v 3 = w 3 - p r o j v 1 w 3 - p r o j v 2 w 3

e assim por diante.

Passo 2

Agora que relembramos o processo de ortogonalização. Vamos construir a nossa base ortonormal para W = { x ,   s i n ( x ) ,   s i n ( 2 x ) } começando pelo primeiro vetor da base.

Pelo processo de ortogonalização. fazemos:

v 1 = x / | | x | |

como | | x | | 2 = < x , x > , temos:

< x , x > = ∫ - π     π x ' x ' d x

= ∫ - π     π 1 d x

= 2 π

Logo, como

| | x | | 2 = < x , x >

⇒ | x | = 2 π

Dessa forma,

v 1 = x / 2 π

Mas olha que legal. Não precisamos calcular os outros elementos da base pois ao olharmos as alternativas a única que tem como primeiro elemento da base o vetor x / 2 π é a alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b)

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