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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP; Sem campus; Algebra Linear 2; P2; 2022; Questão 8

Sejam V um espaço vetorial de dimensão 2 e B   =   { e 1 ,   e 2 }   e   C   =   { f 1 ,   f 2 }

bases de V tais que:

f 1   =   3 e 1   −   2 e 2   e   f 2   =   − e 1   +   e 2 .

Se T   :   V   →   V   é a transformação linear tal que

então os autovalores de T são iguais a:

(a) 3   e   4

(b) 1   e   12

(c)   4   e   9

(d)   1   e   6

(e) 0   e   7

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é encontrar os autovalores da matriz T . lembram como calculamos eles? Eles são são as raízes do polinômio característico de T

O problema, é que o enunciado não nos diz quem é T a única coisa que sabemos é que

f 1   =   3 e 1   −   2 e 2   e   f 2   =   − e 1   +   e 2 .

Se T   :   V   →   V   é a transformação linear tal que

Como podemos obter T a partir dessas informações? Podemos obter [ T ] B . Lembram que ela é dada por

[ T ] B = [ I ] C B [ T ] B C

onde [ I ] C B pega os elementos da base de C e leva eles na base B . Vamos começar obtendo [ I ] C B

Passo 2

Como f 1   =   3 e 1   −   2 e 2   e   f 2   =   − e 1   +   e 2 .

[ I ] C B é dado por

[ I ] C B = ( ( f 1 ) B , ( f 2 ) B ) =

Logo temos que

[ T ] B = [ I ] C B [ T ] B C

Passo 3

Por fim, vamos calcular os autovalores de

Como o polinômio característico

p ( t ) = d e t ( [ T ] B - t I )

temos que

p ( t ) = ( 6 - t ) ( 1 - t ) + 6

Usando Bhaskara, temos que as raízes desse polinômio, que são os autovalores, são:

3   e   4

Logo, a alternativa correta é a a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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