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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 12

Considere o espaço vetorial P 2 ( R ) munido do produto interno definido por

⟨ p ,   q ⟩   = ∫ - 1 1 x 2 p ( x ) q ( x )   d x ,

para quaisquer p ,   q   ∈   P 2 ( R ) . Se a ,   b   ���   R são tais que { 1 ,   x ,   x 2   +   a x   +   b } é uma base ortogonal de P 2 ( R ) , então a   +   b é igual a:

  1. - 3 / 5
  2. 2 / 3
  3. 1 / 5
  4. 1 / 2
  5. 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir a ,   b   ∈   R são tais que { 1 ,   x ,   x 2   +   a x   +   b } seja uma base ortogonal para P 2 ( R ) .

Bem, o que precisa acontecer para termos uma base ortogonal? Ora o vetor x 2   +   a x   +   b precisa ser ortogonal aos vetores 1 e x , ou seja, precisamos que

< x 2   +   a x   +   b , 1 > = 0

< x 2   +   a x   +   b , x > = 0

Bem, mas o enunciado diz que

⟨ p ,   q ⟩   = ∫ - 1 1 x 2 p ( x ) q ( x )   d x ,

Vamos calcular esses produtos internos para descobrirmos a ,   b   ∈   R .

Passo 2

Vamos começar com

< x 2   +   a x   +   b , 1 > = 0

Pela definição,

⟨ p ,   q ⟩   = ∫ - 1 1 x 2 p ( x ) q ( x )   d x ,

Logo,

< x 2   +   a x   +   b , 1 > = 0

⇔ ∫ - 1 1 x 2 ( x 2   +   a x   +   b )   d x = 0

fazendo a distributiva

⇔ ∫ - 1 1 x 4 +   a x 3   +   b x 2   d x = 0

como temos um polinômio, sua integral é fácil de calcular. Então teremos:

⇔ x 5 / 5 + a x 4 / 4 + b x 3 / 3 | x = 1 x = - 1 = 0

Aplicando os limites de integração, temos:

2 / 5 + 2 b / 3 = 0

Logo,

b = - 3 / 5

Passo 3

Agora, verificar quando

< x 2   +   a x   +   b , x > = 0

⇔ ∫ - 1 1 x 2 ( x 2   +   a x   +   b )   x   d x = 0

fazendo a distributiva,

⇔ ∫ - 1 1 x 5   +   a x 4   +   b x 3   d x = 0

como temos um polinômio, sua integral é fácil de calcular. Então teremos:

⇔ x 6 / 6 + a x 5 / 5 + b x 4 / 4 | x = 1 x = - 1 = 0

Aplicando os limites de integração, temos:

2 a / 5 = 0

Logo

a = 0

Portanto,

a + b = 0 - 3 / 5

= - 3 / 5

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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