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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

UTFPR – 2018.1 – Geometria Analítica e Álgebra Linear - Recuperação

  1. Considere o conjunto:

W = { ( a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c ) | a , b , c ∈ R }

  1. Mostre que W é um espaço vetorial.

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Esse problema nos deu esse conjunto aqui:

W = { ( a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c ) | a , b , c ∈ R }

E está pedindo para a gente mostrar que ele é um espaço vetorial. Bom para fazer isso, a gente lembra que qualquer conjunto pode ser um espaço vetorial desde que ele obedeça a um conjunto de regras (as “leis” dos EV). Então a nossa tarefa é testar cada uma delas. Caso ele não obedeça a alguma delas, a gente pode parar tudo o que a gente está fazendo e dizer que aquele cara não é um espaço vetorial, beleza?

u =   a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c v =   a ' + c ' ,   a ' + b ' - c ' ,   b ' - 2 c ' ,   - a ' + b ' - 3 c '

w =   ( a * + c * ,   a * + b * - c * ,   b * - 2 c * ,   - a * + b * - 3 c * ) Então partiiiiu!!

Passo 2

O primeiro teste que a gente tem que fazer é ver se a soma é comutativa, ou seja: v + u = u + v

Usando os vetores que a gente criou, temos: v + u =   a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c + a ' + c ' ,   a ' + b ' - c ' ,   b ' - 2 c ' ,   - a ' + b ' - 3 c '   Somando as componentes associadas, temos: v + u =   a ' + a + c ' + c ,   a ' + a + b ' + b - c ' - c ,   b ' + b - 2 c ' - 2 c ,   - a ' - a + b ' + b - 3 c ' - 3 c

Olha... Como em cada componente temos somas de números a ' + a , b ' + b , c ' + c e etc. Sabemos que a soma de números é comutativa, então se fizermos u + v vamos obter o mesmo resultado só que com as letras em outra ordem... como não importa a ordem, temos: u + v = v + u

E aí o primeiro axioma está valendo! Vamos para o próximo!

Passo 3

O próximo axioma é o da associatividade na soma:

v + u + w = v + u + w

Vamos começar usando o resultado de v + u :

v + u =   a ' + a + c ' + c ,   a ' + a + b ' + b - c ' - c ,   b ' + b - 2 c ' - 2 c ,   - a ' - a + b ' + b - 3 c ' - 3 c

Se agora somarmos com w temos:

v + u + w = a ' + a + a * + c ' + c +   c * ,   a ' + a +   a * + b ' + b +   b * - c ' - c -   c * ,   b ' + b +   b * - 2 c ' - 2 c -   2 c * ,   - a ' - a -   a * + b ' + b +   b * - 3 c ' - 3 c - 3 c *  

Pelo mesmo motivo do passo anterior, não faz diferença a ordem que você soma três vetores. Então temos: v + u + w = v + u + w

E esse axioma está sendo respeitado!

Passo 4

Agora vamos ver se existe um elemento neutro: ∃ 0 ∈ W onde v +   0 = v

Bom, se escrevermos um cara que tem as componentes todas nulas: 0 = ( 0,0 , 0 )

E somarmos com v :

v + 0 =   a ' + c ' + 0 ,   a ' + b ' - c ' + 0 ,   b ' - 2 c ' + 0 ,   - a ' + b ' - 3 c ' + 0

= a ' + c ' ,   a ' + b ' - c ' ,   b ' - 2 c ' ,   - a ' + b ' - 3 c '    

Então

  v + 0 = v

E esse axioma está valendo 😊

Passo 5

Agora a questão é se existe o - v de tal forma que:

v + - v = 0

Então, a gente pode trocar o sinal de todos os termos de v :

- v =   - a ' - c ' ,   a ' - b ' + c ' ,   b ' + 2 c ' ,   a ' - b ' + 3 c '

Se calcularmos a soma: v + - v = ( 0,0 , 0,0 )

Que é o vetor nulo!Então esse axioma está sendo respeitado.

Passo 6

Agora a gente tem que falar sobre o produto por um escalar α , beleza?Vale a pena a gente lembrar que multiplicar um vetor por um escalar é o mesmo que multiplicar todas as componentes por α : α u =   α a + c , α   a + b - c ,   α b - 2 c ,   α - a + b - 3 c

α u = α a + α c ,   α a + α b - α c ,   α b - 2 α c ,   - α a + α b - 3 α c

O primeiro axioma é sobre a associatividade: α β u = α β u

Como vimos que a multiplicação é dada por multiplicar cada componente por esse número, já sabemos que tanto faz a ordem que você vai realizar esse produto. Então esse axioma é respeitado!

Passo 7

Vamos ver se conseguimos um escalar 1 de tal forma que a multiplicação por um vetor de W não altere o vetor. Bom, se multiplicarmos um vetor pelo número 1 , não vamos alterar em nada a sua forma. Dessa forma, o número 1 é o elemento neutro desse conjunto e esse axioma está sendo respeitado.

Passo 8

Vamos ver se temos: α u + v = α u + α v

Vamos começar com o lado direito temos então: α u + α v =   α a + α c ,   α a + α b - α c ,   α b - 2 α c ,   - α a + α b - 3 α c +   α a ' + α c ' ,   α a ' + α b ' - α c ' ,   α b ' - 2 α c ' ,   - α a ' + α b ' - 3 α c ' =   α a +   α a ' + α c + α c ' ,   α a +   α a ' + α b +   α b ' - α c -   α c ' ,   α b +   α b ' - 2 α c - 2 α c ' ,   - α a -   α a ' + α b +   α b ' - 3 α c - 3 α c '

Colocando α em evidência, temos: α u + α v = α a ' + a + c ' + c ,   a ' + a + b ' + b - c ' - c ,   b ' + b - 2 c ' - 2 c ,   - a ' - a + b ' + b - 3 c ' - 3 c

Aquele vetor no lado direito da igualdade é justamente u + v , ou seja: α u + α v = α ( u + v )

E esse axioma está sendo respeitado 😊

Passo 9

Por fim, a gente tem que ver se esse axioma aqui vale:

α + β u = α u + β u

Mais uma vez, vamos começar com o lado direito:

α u + β u =   α a + α c ,   α a + α b - α c ,   α b - 2 α c ,   - α a + α b - 3 α c +   β a + β c ,   β a + β b - β c ,   β b - 2 β c ,   - β a + β b - 3 β c

Manipulando o lado direito dessa igualdade temos: α u + β u =   ( α + β ) a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c Ou seja: α u + β u =   α + β u  

E aí o último axioma está sendo respeitado. W é um espaço vetorial

Oba! Resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

W é um espaço vetorial

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