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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 5

Considere o subespaço

S   = ( x ,   y ,   z ,   w )   ∈   R 4 :   2 x   +   y   −   2 w   =   0   e   x   +   z   −   3 w   =   0

do espa ̧co vetorial R 4 . Suponha R 4 munido de seu produto interno usual e sejam   a ,   b   ∈   R tais que

( 1 ,   0 ,   a ,   b )   ∈   S ⊥

Temos que a   +   b é igual a:

  1. - 2
  2. - 1
  3. - 3
  4. - 4
  5. - 5

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos descobrir o valor de a   +   b , e para isso, é informado que   a ,   b   ∈   R são tais que

( 1 ,   0 ,   a ,   b )   ∈   S ⊥

e

S   = ( x ,   y ,   z ,   w )   ∈   R 4 :   2 x   +   y   −   2 w   =   0   e   x   +   z   −   3 w   =   0

E aí? alguma ideia de como começar? Vamos começar achando uma base para S

Passo 2

Bem, vamos tentar obter uma base para S . Para isso, vamos verificar as condições para um vetor pertencer a S

S   = ( x ,   y ,   z ,   w )   ∈   R 4 :   2 x   +   y   −   2 w   =   0   e   x   +   z   −   3 w   =   0

Então, as equações precisam ser satisfeitas

2 x   +   y   −   2 w   =   0  

  x   +   z   −   3 w   =   0

Temos duas equações e quatro incógnitas. Logo temos duas variáveis livres, isso implica que a solução é um plano. Bem vamos resolver o sistema

  x   + 0 y +   z   −   3 w   =   0

2 x   +   y   + 0 z −   2 w   =   0  

multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo da segunda, temos:

  x   + 0 y +   z   −   3 w   =   0

0 x + y - 2 z + 4 w = 0

vamos usar as variáveis ( z , w ) como variáveis livres. Então temos:

x = - z + 3 w

y = 2 z - 4 w

Logo, podemos escrever a solução desse sistema como:

( - z + 3 w , 2 z - 4 w , z , w )

Que pode ser expressa como:

( - z + 3 w , 2 z - 4 w , z , w ) = z ( - 1,2 , 1,0 ) + w ( 3 , - 4,0 , 1 )   c o m   z , w   ∈ R

Pintinho, achamos a nossa base para S ela é

( - 1,2 , 1,0 ) ; ( 3 , - 4,0 , 1 )

Passo 3

Agora que temos a nossa base de S , podemos verificar as condições para que

( 1 ,   0 ,   a ,   b )   ∈   S ⊥

Bem, se esse vetor pertence ao complemento ortogonal de S , então ele é ortogonal a todos os vetores de S , em particular, é ortogonal aos vetores da base de S . Logo, temos:

< ( 1 ,   0 ,   a ,   b ) ; ( - 1,2 , 1,0 ) > = 0

< ( 1 ,   0 ,   a ,   b ) ; ( 3 , - 4,0 , 1 ) > = 0

Fazendo os produtos internos, obtemos as seguintes equações em a ,   b

- 1 + a = 0

3 + b = 0

Logo,

a = 1

b = - 3

Portanto,

a + b = - 2

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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