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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 4

Q4. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e sejam U   e   W subespaços de V tais que U   ⊂   W ⊥ . Considere as seguintes afirmações:

(I) a soma U   +   W é direta;

(II) W   ⊂   U ⊥ ;

(III) p r o j U ( w ) é igual ao vetor nulo de V , para todo w   ∈   W .

Assinale a alternativa correta:

(a) Todas as afirmações são verdadeiras.

(b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.

(c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

(d) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.

(e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nesta, queremos verificar quais afirmações são verdadeiras. Para isso, vamos relembrar a definição de complemento ortogonal. Seja W subespaço de V . o complemento ortogonal de W é definido como:

W ⊥ = { x ∈ V   :   < x , y > = 0   ∀   y   ∈ W }

Ou seja, são os vetores de V que são ortogonais a todos os vetores de W .

Vamos partir para as afirmações

Passo 2

A primeira afirmação diz que a soma U   +   W é direta. Para a soma de dois espaços ser direta, a interseção entre eles precisa conter somente o vetor nulo. Bem, como Pela definição de espaço ortogonal, temos que

W ⊥ = { x ∈ V   :   < x , y > = 0   ∀   y   ∈ W }

Ou seja, os vetores de W ⊥ não pertencem a W pela própria definição de espaço ortogonal com exceção do vetor nulo. Logo como

U ⊂   W ⊥

Temos que

U ∩ W = { 0 }

Ou seja, U   +   W é direta. Então a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

A segunda afirmação diz que W   ⊂   U ⊥ ;

Bem, por definição,

U ⊥ = { x ∈ V   :   < x , y > = 0   ∀   y   ∈ U }

mas pela definição de U , temos que: U   ⊂   W ⊥ , logo

se w ∈ W e u ∈ U , então

< w , u > = 0  

Logo, todo vetor de W é ortogonal a todo vetor de U ; portanto,   W   ⊂   U ⊥ .

Logo a segunda afirmação é verdadeira.

Passo 4

A terceira afirmação diz que p r o j U ( w ) é igual ao vetor nulo de V , para todo w   ∈   W . E aí? É verdade?

Bem, por definição

p r o j U ( w ) = ∑ u ∈ U < w , u > < u , u > u

Mas como

U   ⊂   W ⊥

então

se w ∈ W e u ∈ U , < w , u > = 0  

Logo

p r o j U ( w ) = ∑ u ∈ U < w , u > < u , u > u

= 0

Ou seja, a terceira afirmação é verdadeira. Como todas as afirmações estão corretas a alternativa é a letra a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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