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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P1, Q3

Assinale a alternativa em que S não é um subespaço do espaço vetorial V :

Escolha uma opção:

  1. V = P R   e   S = {   p ∈ V   :   p 2 2 + p 2 3 = 0 } ;
  2. V é o espaço das funções contínuas de R em R e S é o conjunto das funções f ∈ V tais que ∫ - 1 1 f ( x ) d x = 0 ;
  3. V é o espaço das funções deriváveis de R em R e S é o conjunto das funções f ∈ V tais que f ' x = e x f ( x ) , para x ∈ R ;
  4. V = P ( R ) e S = {   p ∈ V   : p 1 p - 1 = 0 } ;
  5. V é o espaço de todas as funções de R em R e S é o conjunto das funções f ∈ V tais que f x 3 = f ( x ) , para todo x ∈ R .

Passo 1

Faaaala, galerinha do bem. Relembrando: um subconjunto S ⊂ V é subespaço vetorial se apresenta 1. fechamento para soma e 2. Fechamento para multiplicação por escalar:

  1. u ,   v ∈ S ⇒ u + v ∈ S
  2. λ   e s c a l a r ,   u ∈ S ⇒ λ u ∈ S

Podemos usar ainda a expressão resumida: λ escalar e u , v ∈ S ⇒ u + λ v ∈ S . Assim, vamos analisar as alternativas.

Passo 2

  1. É subespaço.

    2. Observe que em S = {   p ∈ V   :   p 2 2 + p 2 3 = 0 } , temos p 2 = p 3 = 0 , pois os termos são não-negativos e tem soma nula. Assim, para quaisquer polinômios p ,   q ∈ S , e λ ∈ R :

    p 2 = p 3 = 0 q 2 = q 3 = 0 ⇒ p 2 + λ q 2 = 0 p 3 + λ q 3 = 0   ⇒

    ⇒ ( p + λ q ) 2 = 0 ( p + λ q ) 3 = 0 ⇒ p + λ q ∈ S

    Como queríamos demonstrar.

    Passo 3

  2. É subespaço.

    3. Observe que para f ,   g ∈ S e λ ∈ R , temos:

    ∫ - 1 1 f x d x = ∫ - 1 1 g x d x = 0

    ⇒ ∫ - 1 1 f ( x ) d x + λ ∫ - 1 1 g ( x ) d x = 0 + λ 0 = 0

    Pela linearidade da integral,

    ⇒ ∫ - 1 1 f ( x ) + λ g ( x ) d x = 0 ⇒ f + λ g ∈ S

    Como queríamos demonstrar.

    Passo 4

  3. É subespaço.

    4. Observe que para f ,   g ∈ S e λ ∈ R :

    f ' x = e x f ( x ) g ' x = e x g ( x ) ⇒ f ' x + λ g ' x = e x f x + λ e x g ( x )

    ⇒ f + g ' x = e x ( f + λ g ) ( x )

    ⇒ f + λ g ∈ S

    Como queríamos demonstrar.

    Passo 5

  4. Não é subespaço.

    5. Para provar que não é subespaço basta tomar um contraexemplo (busque a simplicidade). Considere:

    p x = 1 - x

    q x = 1 + x

    Tais que:

    p 1 p - 1 = 0 ⋅ 2 = 0 q 1 q - 1 = 2 ⋅ 0 = 0

    Logo, p ,   q ∈ S . Contudo, S não é fechado para a soma, uma vez que para p + q x = 2 , temos:

    p + q 1 p + q - 1 = 2 ⋅ 2 ≠ 0

    Como queríamos demonstrar.

    Passo 6

  5. É subespaço.

Observe que para f ,   g ∈ S e λ ∈ R , temos:

f x 3 = f x g x 3 = g x ⇒ f x 3 + λ g x 3 = f x + λ g x

⇒ f + λ g x 3 = ( f + λ g ) ( x )

⇒ f + λ g

Como queríamos demonstrar.

Resposta

d .     V = P ( R ) e S = {   p ∈ V   : p 1 p - 1 = 0 } ;

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