Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

Ver Teoria
Exercício 241234567891011121314151617181920212223252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354

Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – P3 – 2016

Q12. Considere o espaço vetorial R 3 munido do seu produto interno usual e seja T : R 3 → R 3 o operador linear simétrico cujos autovalores são 1 e -2 e que satisfaz

K e r T + 2 I = 1,0 , 1 , 0,1 , 0 ,

Em que I denota o operador identidade de R 3 . Se T 2,1 , 0 = x , y , z , então x + y + z é igual a:

a) - 5 ;

b) - 6 ;

c) 0 ;

d) - 4 ;

e) - 3 .

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão queremos achar o valor de x + y + z onde T 2,1 , 0 = x , y , z .

Pra isso vamos lembrar que, se um operador linear é simétrico, então os autovalores são ortogonais.

E também lembrar que se u for um autovetor associado ao autovalor, para T :

T u = λ u

Passo 2

Como K e r T + 2 I = 1,0 , 1 , 0,1 , 0 , então 1,0 , 1 , 0,1 , 0 são os autovetores associados ao autovalor - 2 .

Então temos:

T 1,0 , 1 = - 2 1,0 , 1

= - 2,0 , - 2

T 0,1 , 0 = - 2 0,1 , 0

= 0 , - 2,0

Para achar o outro autovetor, já que eles são ortogonais, fazemos o produto vetorial entre os dois vetores que temos:

x , y , z = 1,0 , 1 × 0,1 , 0

x , y , z = i ^ j ^ k ^ 1 0 1 0 1 0

x , y , z = - 1,0 , 1

Esse é o autovetor associado ao autovalor 1 .

Então:

T - 1,0 , 1 = 1 - 1,0 , 1

= - 1,0 , 1

Passo 3

Queremos, agora, achar o vetor 2,1 , 0 como combinação linear de 1,0 , 1 ,   0,1 , 0 e - 1,0 , 1 .

2,1 , 0 = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 0 + c - 1,0 , 1

Resolvendo:

a = 1

b = 1

c = - 1

Então:

T 2,1 , 0 = T 1,0 , 1 + T 0,1 , 0 - T - 1,0 , 1

= - 2,0 , - 2 + 0 , - 2,0 - - 1,0 , 1

= - 1 , - 2 , - 3

Letra b

Resposta

Letra b

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se são espaços vetoriais os seguintes conjuntos:a) O R 2 com a adição usual e a multiplicação por escalar definida por α x , y = α x , 0 . b) O R 2 com x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( x 1 + 2 x 2
Sejam X um conjunto não vazio e V um espaço vetorial. Mostre que, com as definições naturais de soma e multiplicação por escalar de funções, o conjunto das funções de X em V , F (X; V ), é um espaço v
Nos exercícios 5-6, em cada parte esboce, com ponto incial na origem, o vetor determinado pelos dois pontos dados.6 (a) P1(-1,0,2), P2(0,-1,0)
34 Seja P o ponto 1 ,3 ,7 . Se o ponto 4 ,0 ,- 6 for o ponto médio do segmento de reta que liga P e Q, quem é Q?
O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam. A = 0 a b