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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 9

Sejam S 1   e   S 2 subespaços do espaço vetorial R 5

em que

S 1   =   [ ( 1 ,   1 ,   2 ,   − 2 ,   − 1 ) , ( − 7 ,   5 ,   1 ,   − 4 ,   − 2 ) ]

e S 2 é o conjunto solução do sistema linear homogêneo:

nas incógnitas reais α 1 ,   α 2 ,   α 3 ,   α 4   e   α 5 . Assinale a alternativa correta:

(a) S 1   ∪   S 2 é um subespaço de R 5

(b) S 1   +   S 2   =   R 5

(c) d i m ( S 1   +   S 2 )   =   4 .

(d) d i m ( S 1   ∩   S 2 )   =   1 .

(e)   S 1   ∩   S 2   =   { 0 } .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Qual das afirmações a respeito dos subespaços

S 1   =   [ ( 1 ,   1 ,   2 ,   − 2 ,   − 1 ) , ( − 7 ,   5 ,   1 ,   − 4 ,   − 2 ) ]

e S 2 é o conjunto solução do sistema linear homogêneo:

são verdadeiras. Bem para isso, vamos começar descobrindo quem é S 2 .

Passo 2

Para descobrirmos quem é S 2 , vamos resolver o sistema

Fazendo L 2 ← L 2 + L 1 ;   L 3 ← L 3 - L 1 ; temos:

a 1 + 2 a 2 - a 3 + a 4 - a 5 = 0

a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 0

2 a 2 + 2 a 3 + 3 a 4 = 0

Fazendo L 3 ← L 3 - 2 L 2 o sistema fica

a 1 + 2 a 2 - a 3 + a 4 - a 5 = 0

a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 0

a 4 - 2 a 5 = 0

Temos três equações e cinco variáveis, logo nosso sistema tem duas variáveis livres, vamos dizer que

a 5 = t , e a 3 = w . Logo

a 1 + 2 a 2 - w + a 4 - t = 0

a 2 + w + a 4 + t = 0

a 4 - 2 t = 0

Resolvendo o sistema, obtemos que

a 4 = 2 t

a 2 = - 3 t - w

a 1 = 5 t + 3 w

( 5 ,   − 3 ,   0 ,   2 ,   1 ) ) t + ( 3 ,   − 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) w

Logo, temos as seguintes soluções para o sistema.

Ou seja, S 2 tem dimensão 2 . E uma base para S 2   é   [ ( 3 ,   − 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) ,   ( 5 ,   − 3 ,   0 ,   2 ,   1 ) ] .

Passo 3

Agora, vamos analisar S 1 , como

S 1   =   [ ( 1 ,   1 ,   2 ,   − 2 ,   − 1 ) , ( − 7 ,   5 ,   1 ,   − 4 ,   − 2 ) ]

podemos observar que os vetores de S 1 são LI, log a dimensão de S 1 é 2 . Mas o que podemos dizer de S 1 ∩ S 2 ?

Bem, a interseção são os vetores que estão em S 1   e   S 2 logo, temos que se

v ∈ S 1 ,   e n t ã o   v = α ( 1 ,   1 ,   2 ,   − 2 ,   − 1 ) + β ( − 7 ,   5 ,   1 ,   − 4 ,   − 2 )

v ∈ S 2 ,   e n t ã o   v = a ( 3 ,   − 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) + b ( 5 ,   − 3 ,   0 ,   2 ,   1 )

Mas note que

( 3 ,   − 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) = 2 / 3 ( 1 ,   1 ,   2 ,   − 2 ,   − 1 ) - 1 / 3 ( − 7 ,   5 ,   1 ,   − 4 ,   − 2 )

E que

( 5 ,   − 3 ,   0 ,   2 ,   1 ) = 1 / 3 ( 1 ,   1 ,   2 ,   − 2 ,   − 1 ) - 2 / 3 ( − 7 ,   5 ,   1 ,   − 4 ,   − 2 )

Ou seja, podemos escrever os elementos da base de S 2 com os elementos da base de S 1 . Logo S 2 ⊂ S 1 . Mas como vimos no passo anterior, S 1 e   S 2 tem a mesma dimensão. Isso implica que S 1 = S 2 .

Portanto,

S 1   ∪   S 2 = S 1

Que é um subespaço de R 5 . Logo a afirmação verdadeira é a alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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