USP – Álgebra Linear 2 – P3 – 2016
Q11. Sejam um espaço vetorial complexo de dimensão finita e um operador linear. Considere as seguintes afirmações:
(i) se existir uma base de tal que a matriz seja real, então o polinômio característico de terá coeficientes reais;
(ii) se existirem tais que e o polinômio característico de seja então será diagonalizável;
(iii) se for um autovalor de , então também será um autovalor de .
Assinale a alternativa correta:
a) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
b) apenas as afirmações (i) e (iii) são necessariamente verdadeiras;
c) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;
d) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;
e) apenas a afirmação (i) é necessariamente verdadeira.
Passo 1
Falaaa... beleza???
Nessa questão vamos analisar as afirmações e dizer quais são necessariamente verdadeiras.
Passo 2
i) É verdadeira. O polinômio característico é obtido pelo determinante e, como não tem nenhum número complexo, os coeficientes serão reais.
ii) É falsa. Essa condição valeria se fosse dito que o operador linear é simétrico. Daí a gente poderia usar a informação que se os autovalores são reais, então a matriz é diagonalizável.
iii) É verdadeira. Sempre que um dos autovalores é complexo, o seu conjugado também é autovalor.
Letra b
Resposta
Letra b