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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 13

Considere o espaço vetorial R 4 munido de seu produto interno usual e sejam:

u 1   =   ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 )   e   u 2   =   ( 1 ,   0 ,   1 ,   1 ) . .

Se a ,   b   ∈   R são tais que a u 1   +   b u 2 é igual à projeção ortogonal de ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) sobre o

o subespaço U = [ u 1 ,   u 2 ] , então a   +   b é igual a:

  1. 7 / 5
  2. 2 / 3
  3. 4 / 5
  4. 3 / 4
  5. 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma envolvendo projeção ortogonal sobre um plano. (Lembrando que o que vamos fazer aqui pode ser generalizado para um hiperplano). Lembram como fazemos isso?

Bem, se U = [ e 1 , e 2 ] os elementos de U são dois a dois ortogonais. Então,

p r o j U v = < e 1 , v > < e 1 , e 1 > e 1 + < e 2 , v > < e 2 , e 2 > e 2

Bem, tranquilo, né? Bem, então só precisamos encontrar uma base do espaço gerado [ u 1 ,   u 2 ] que seja ortogonal. Vamos fazer isso!!!

Passo 2

Agora, vamos encontrar uma base ortogonal para [ u 1 ,   u 2 ] . Bem, temos que

u 2 - p r o j u 1 u 2 é ortogonal a u 1

Então temos a base

[ u 1 ,   u 2 - p r o j u 1 u 2 ]

Bem, como

u 1   = ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 )   e   u 2   =   ( 1 ,   0 ,   1 ,   1 )

Então,

u 2 - p r o j u 1 u 2 = u 2 - < u 1 , u 2 > . < u 1 , u 1 > u 1

calculando os produtos internos

= u 2 - 1 2 u 1

Ou seja, a nossa base ortogonal é

[ u 1 ,   u 2 - 1 2 u 1 ]

substituindo os vetores

[ u 1 ,   u 2 - 1 2 u 1 ] = [ ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) , ( 1 / 2 ,   - 1 / 2,1 , 1 ) ]

Agora podemos utilizar a definição de projeção sobre U = [ ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) , ( 1 / 2 ,   - 1 / 2,1 , 1 ) ] que revisamos no passo anterior, então temos:

p r o j U (   ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) ) = < ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) ,   ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) > < ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) , ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) > u 1 + < ( 1 / 2 ,   - 1 / 2,1 , 1 ) ,   ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) > < ( 1 / 2 ,   - 1 / 2,1 , 1 ) , ( 1 / 2 ,   - 1 / 2,1 , 1 ) > ( u 2 - 1 / 2 u 1 )

fazendo os produtos internos, obtemos que

p r o j U (   ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) ) = u 1 + 2 1 / 2 + 2 ( u 2 - 1 / 2 u 1 )

= u 1 + 4 5 u 2 - 2 5 u 1

= 3 5 u 1   +   4 5 u 2

Passo 3

Logo,

p r o j U (   ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) ) = 3 5 u 1   +   4 5 u 2

como temos que

a u 1   +   b u 2 é a projeção ortogonal de ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 )

então descobrimos que

a = 3 / 5

b = 4 / 5

Portanto, a + b = 7 / 5

valor que se encontra na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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