Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

(I) se A é uma matriz real quadrada é diagonalizável e se existe um inteiro positivo k tal que A k   =   0 , então A   =   0 ;

(II) se T   :   P 2 ( R )   →   P 2 ( R ) é a transformação linear definida por T ( p )   =   p

para todo p   ∈   P 2 ( R ) e se A   = �� [ T ] B , em que B   =   { 1 ,   x ,   x 2 } , então A 3   =   0 ;

(III) se T   :   P 2 ( R )   →   P 2 ( R ) é a transformação linear definida por T ( p )   =   p ' para todo p   ∈   P 2 ( R ) , então T é diagonalizável.

Assinale a alternativa correta:

(a) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras

(b) todas as afirmações são verdadeiras

(c) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras

(d) apenas a afirmação (I) é verdadeira

(e) apenas a afirmação (III) é verdadeira

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais das afirmações são verdadeiras. Vamos nessa.

Vamo começar pela primeira afirmação:

se A é uma matriz real quadrada é diagonalizável e se existe um inteiro positivo k tal que A k   =   0 , então A   =   0 ;

Bem, se A é diagonalizável, então podemos escrever A como

A = P D P - 1

Logo,

A k = ( P D P - 1 ) k

= P D k P - 1

Bem, se A k   =   0 então

P D k P - 1 = 0

Mas isso só ocorre se D k = 0 . E como D é a matriz DIAGONAL contendo os autovalores da matriz A . Então se

D k = 0

⇒ D = 0

já que elevar uma matriz diagonal a k potência é igual a elevar cada elemento de sua diagonal principal a k potência.

E se D = 0 então

A = P D P - 1

= 0

Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 2

Vamos para a segunda afirmação. se T   :   P 2 ( R )   →   P 2 ( R ) é a transformação linear definida por T ( p )   =   p ' para todo p   ∈   P 2 ( R ) e se A   =   [ T ] B , em que B   =   { 1 ,   x ,   x 2 } , então A 3   =   0 ;

Vamos calcular A . Como

[ T ] B = ( T ( 1 ) B , T ( x ) B , T ( x 2 ) B )

Temos que

T ( 1 )   =   0

= 0 * 1 + 0 x + 0   x 2

⇒ T ( 1 ) B   =   ( 0,0 , 0 )

T ( x )   =   1

= 1 * 1 + 0 x + 0   x 2

⇒ T ( x ) B   =   ( 1,0 , 0 )

T ( x 2 )   =   2 x

= 0 * 1 + 2 x + 0   x 2

⇒ T ( 0 ) B   =   ( 0,2 , 0 )

Então,

Calculando A 3 obtemos que

A 3 = 0

Portanto a segunda afirmação é verdadeira

Passo 3

Por fim, vamos para a terceira afirmativa. Se T   :   P 2 ( R )   →   P 2 ( R ) é a transformação linear definida por T ( p )   =   p ' para todo p   ∈   P 2 ( R ) , então T é diagonalizável.

Como vimos na afirmação 2 , para a base B   =   { 1 ,   x ,   x 2 } temos que T 3 = 0 . Mas usando o resultado da letra A se T for diagonalizável, e se existir um k tal que T k = 0 , então T = 0 .

Mas vimos na afirmação anterior que T ≠ 0 . Logo a terceira afirmação é falsa

portanto, a alternativa correta é a a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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