USP – Álgebra Linear 2 – P2 - 2017
Q3. Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual e as bases
e
De . Se e são os operadores lineares tais que
e ,
Então:
a) é simétrico e não é simétrico;
b) e são ambos simétricos e têm polinômios característicos diferentes;
c) não é simétrico e é simétrico;
d) e são ambos simétricos e têm o mesmo polinômio característico;
e) nem nem são simétricos.
Passo 1
Falaaa.. beleza?? Nessa questão temos que analisar se esses operadores lineares aí são simétricos.
Pra isso precisamos lembrar o operador linear é simétrico se a matriz que o representa em uma base ortonormal é simétrica.
Passo 2
Já vamos começar tomando um suuuuper cuidado.
A gente pode até olhar pras matrizes que representam os operadores lineares e falar que é simétrico e não é simétrico, maaaaas isso vai estar errado.
Nós só podemos dizer se o operador linear é sim��trico, se a base for ortonormal. A base mais conhecida que é ortonormal é base canônica:
Queremos achar, então e pra poder montar a matriz e e para poder montar a matriz .
Passo 3
Como temos a matriz mudança de base para , temos para
Mas queremos , que é :
Então:
Que não é simétrica.
Temos para
Mas queremos , que é :
Então:
Que é simétrica.
Então, não é simétrica e é simétrica.
Resposta
Letra C