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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 11

Sejam   V um espaço vetorial de dimensão 3 munido de um produto interno < · ,   · >   e   B   =   { e 1 ,   e 2 ,   e 3 }

uma base de V . Suponha que:

⟨ e 1 ,   e 1 ⟩   =   1 ,   ⟨ e 1 ,   e 2 ⟩   =   1 ,   ⟨ e 1 ,   e 3 ⟩   =   1 , ⟨ e 2 ,   e 2 ⟩   =   2 ,   ⟨ e 2 ,   e 3 ⟩   =   2 ,   ⟨ e 3 ,   e 3 ⟩   =   3 .

Se   a ,   b   ∈   R são tais que a e 1   +   b e 2 é a projeção ortogonal de e 3 sobre o subespaço [ e 1 ,   e 2 ] , então a   +   b é igual a:

  1. 1
  2. - 1
  3. 2
  4. - 2
  5. 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma envolvendo projeção ortogonal sobre um plano. (Lembrando que o que vamos fazer aqui pode ser generalizado para um hiperplano). Lembram como fazemos isso?

Bem, se U = [ e 1 , e 2 ] os elementos de U são dois a dois ortogonais. Então,

p r o j U v = < e 1 , v > < e 1 , e 1 > e 1 + < e 2 , v > < e 2 , e 2 > e 2

Bem, tranquilo, né? Bem, então só precisamos fazer com que a base [ e 1 ,   e 2 ] da nossa questão seja ortogonal. Vamos fazer isso!!!

Passo 2

Agora, vamos encontrar uma base ortogonal para [ e 1 ,   e 2 ] . Bem, temos que

e 2 - p r o j e 1 e 2 é ortogonal a e 1

Então temos a base

[ e 1 ,   e 2 - p r o j e 1 e 2 ]

Agora podemos utilizar a definição de projeção sobre U que revisamos no passo anterior, então temos:

p r o j U v = < e 1 , v > < e 1 , e 1 > e 1 + < e 2 , v > < e 2 , e 2 > e 2

substituindo v   p o r   e 3 ;   e 2 p o r   e 2 - p r o j e 1  

temos:

p r o j U e 3 = < e 1 , e 3 > < e 1 , e 1 > e 1 + < e 2 - p r o j e 1 e 2 , v > < e 2 - p r o j e 1 e 2 , e 2 - p r o j e 1 e 2 > ( e 2 - p r o j e 1 e 2 )

Usando o fato que

⟨ e 1 ,   e 1 ⟩   =   1 ,   ⟨ e 1 ,   e 2 ⟩   =   1 ,   ⟨ e 1 ,   e 3 ⟩   =   1 , ⟨ e 2 ,   e 2 ⟩   =   2 ,   ⟨ e 2 ,   e 3 ⟩   =   2 ,   ⟨ e 3 ,   e 3 ⟩   =   3 .

e que

e 2 - p r o j e 1 e 2 = e 2 - < e 1 , e 2 > < e 1 , e 1 > e 1

= e 2 - e 1

Então:

p r o j U e 3 = e 1 +   < e 2 - e 1 ,   e 3 > < e 2 - e 1 , e 2 - e 1 > ( e 2 - e 1 )

Passo 3

Vamos calcular

< e 2 - e 1 ,   e 3 > < e 2 - e 1 , e 2 - e 1 >

Pela linearidade

< e 2 , e 3 > - < e 1 , e 3 > = 1

e

< e 2 - e 1 , e 2 - e 1 >

Pela linearidade:

< e 2 - e 1 , e 2 - e 1 > = < e 2 , e 2 > + < e 1 , e 1 > - 2 < e 2 , e 1 >

= 2 + 1 - 2 = 1

Logo,

p r o j U e 3 = e 1 + < e 2 - e 1 ,   e 3 > < e 2 - e 1 , e 2 - e 1 > ( e 2 - e 1 )

= e 1 + e 2 - e 1

= e 2

Logo, como temos que

a e 1   +   b e 2 é a projeção ortogonal de e 3

e vimos que essa projeção é e 2 , então descobrimos que

a = 0

b = 1

Portanto, a + b = 1

Conclusão que se encontra na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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