Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 16

Seja

Assinale a alternativa correta:

(a) nem e nem são diagonalizáveis sobre os complexos e é diagonalizável sobre os complexos, mas não sobre ;

(b) é diagonalizável sobre e são diagonalizáveis sobre os complexos , mas

nem e nem são diagonalizáveis sobre ;

(c) são diagonalizáveis sobre R;

(d) são diagonalizáveis sobre e é diagonalizável sobre os complexos, mas não sobre ;

(e) são diagonalizáveis sobre os complexos, mas nenhuma delas é diagonalizável sobre .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin sobre diagonalização. Nosso objetivo é verificar qual afirmação é verdadeira. Show? Vamos nessa!!

Vamos começar verificando os autovalores de cada matriz. Começando pela matriz .

Como é simétrica com coeficientes reais, o teorema espectral garante a sua diagonalização sobre . Logo é diagonalizável. Agora, vamos para as matrizes

Vamos calcular os autovalores de . Por definição, são as raízes do polinômio característico definido por

cujas raízes são:

Logo é diagonalizável sobre os complexos, mas não é sobre , uma vez que seus autovalores são complexos.

Passo 2

Por fim, podemos calcular os autovalores de . Seu polinômio característico é

cujas raízes são:

E como temos três autovalores distintos é diagonalizável sobre os complexos, mas não é sobre , uma vez que seus autovalores são complexos.

Logo a alternativa é a correta

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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