Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Seja

Assinale a alternativa correta:

(a) nem     A e nem C são diagonalizáveis sobre os complexos e   B é diagonalizável sobre os complexos, mas não sobre R ;

(b) A é diagonalizável sobre R e B   e   C são diagonalizáveis sobre os complexos , mas

nem B e nem C são diagonalizáveis sobre R ;

(c) A ,   B   e   C   são diagonalizáveis sobre R;

(d) A   e   B são diagonalizáveis sobre R e C é diagonalizável sobre os complexos, mas não sobre R ;

(e)   A ,   B   e   C são diagonalizáveis sobre os complexos, mas nenhuma delas é diagonalizável sobre R .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin sobre diagonalização. Nosso objetivo é verificar qual afirmação é verdadeira. Show? Vamos nessa!!

Vamos começar verificando os autovalores de cada matriz. Começando pela matriz A .

Como A é simétrica com coeficientes reais, o teorema espectral garante a sua diagonalização sobre R . Logo A é diagonalizável. Agora, vamos para as matrizes B   e   C

Vamos calcular os autovalores de C . Por definição, são as raízes do polinômio característico definido por

p ( x ) = d e t ( C - x I )

= ( - 2 - x ) ( 2 - x ) + 5

cujas raízes são:

- i   e   i

Logo C é diagonalizável sobre os complexos, mas não é sobre R , uma vez que seus autovalores são complexos.

Passo 2

Por fim, podemos calcular os autovalores de B . Seu polinômio característico é

p ( x ) = d e t ( B - x I )

= ( 1 - x ) [ ( - 3 - x ) ( 3 - x ) + 10 ]

cujas raízes são:

1 - i   e   i

E como temos três autovalores distintos B é diagonalizável sobre os complexos, mas não é sobre R , uma vez que seus autovalores são complexos.

Logo a alternativa b é a correta

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b)

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