USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 7
Seja um espaço vetorial real de dimensão munido de um produto interno e sejam bases ortonormais de . Considere as seguintes afirmações:
(I) não é uma linha da matriz;
(II) as matrizes e possuem o mesmo determinante;
(III) se for um operador linear tal que a matriz seja simétrica, então a matriz também será simétrica.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
(b) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
(c) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
(d) todas afirmações são necessariamente verdadeiras;
(e) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira.
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Show? Vamos nessa!!
Começando pela primeira. Ela diz que não é uma linha da matriz . Onde são bases ortonormais de . E tem dimensão . Suponha que
então
mas as bases são ortonormais. Então , o que implica que as entradas do vetor são todas menores que . Logo não é uma linha da matriz.
Passo 2
A segunda afirmação diz que as matrizes e possuem o mesmo determinante;
Bem, temos que
Logo, se
mas ambas as bases são ortonormais. Logo . O que implica que e possuem o mesmo determinante;
Por fim, vamos para a terceira afirmativa. Que diz que se for um operador linear tal que a matriz seja simétrica, então a matriz também será simétrica.
Bem, temos que
pela simetria de
Como as bases são ortonormais
Então
Logo a terceira afirmativa também é verdadeira.
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
d)