USP – Álgebra Linear 2 – P3 – 2016
Q10. Sejam um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e um operador linear. Suponha que exista uma base de tal que a matriz seja simétrica. Considere as seguintes afirmações:
(i) o operador é simétrico;
(ii) o operador é diagonalizável;
(iii) existe uma base ortonormal de formada por autovetores de .
Assinale a alternativa correta:
a) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;
b) apenas a afirmação (i) é necessariamente verdadeira;
c) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;
d) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;
e) apenas as afirmações (ii) e (iii) são necessariamente verdadeiras.
Passo 1
Falaaa... beleza???
Nessa questão vamos analisar as afirmações e dizer se estão necessariamente verdadeiras.
Pra isso vamos precisar lembrar da definição de operador linear simétrico: dizemos que o operador linear é simétrico se a matriz que o representa numa base ortonormal é simétrica.
Passo 2
(i) Para o operador simétrico, ele teria que ter falado que a matriz é ortonormal, então é FALSA.
(ii) é VERDADEIRA, como é simétrica, então é diagonalizável.
(iii) Para essa afirmação ser verdadeira, também deveria ser dito, que é simétrica em uma base ortonormal. Então é FALA.
Letra d
Resposta
Letra d