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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 10

Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno ⟨ · ,   · ⟩ e seja B   =   { e 1 ,   e 2 ,   .   .   .   ,   e n }   um

subconjunto linearmente independente de V com n elementos tal que

v   =   ⟨ v ,   e 1 ⟩   e 1   +   ⟨ v ,   e 2 ⟩   e 2   +   ·   ·   ·   +   ⟨ v ,   e n ⟩   e n

para todo v   ∈   V . Assinale a alternativa correta:

(a) B é uma base ortonormal de V .

(b) B é uma base ortogonal de V , mas pode não ser uma base ortonormal de V .

(c) B pode não gerar V .

(d) V pode ter dimensão infinita.

(e) O conjunto B pode não ser ortogonal.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos verificar qual das alternativas é verdadeira. Bem, vamos começar analisando o enunciado. Nele temos que

B   =   { e 1 ,   e 2 ,   .   .   .   ,   e n }   um subconjunto linearmente independente de V com n elementos tal que

v   =   ⟨ v ,   e 1 ⟩   e 1   +   ⟨ v ,   e 2 ⟩   e 2   +   ·   ·   ·   +   ⟨ v ,   e n ⟩   e n

v   ∈   V .

O que podemos começar a inferir? Ora, como

< u , v >   ∈ R

Então dizer que

v   =   ⟨ v ,   e 1 ⟩   e 1   +   ⟨ v ,   e 2 ⟩   e 2   +   ·   ·   ·   +   ⟨ v ,   e n ⟩   e n

E a mesma coisa que falar que qualquer v é gerado por uma combinação linear de elementos de B .Ou seja, B é um conjunto gerador de V . Mas é base? Nesse caso sim, já que ele é LI.

Opa, então já vimos que B é uma base de V

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Agora que sabemos que B é uma base de V e que

v   =   ⟨ v ,   e 1 ⟩   e 1   +   ⟨ v ,   e 2 ⟩   e 2   +   ·   ·   ·   +   ⟨ v ,   e n ⟩   e n

para todo v   ∈   V .

em particular tomando v = e i temos:

e i =   ⟨ v ,   e 1 ⟩   e 1   +   ⟨ v ,   e 2 ⟩   e 2   +   ⋯   + < e i , e i > e i +   ⋯   +   ⟨ v ,   e n ⟩   e n

Ora mas para isso ser verdade, como os e i ´ s são LI, então precisamos que

< e i , e j > = 0   s e   i ≠ j

e

< e i , e i > = 1

Ora, mas essas são as condições necessárias para os vetores e 1 ,   e 2 ,   .   .   .   ,   e n serem ortogonais e unitários. Logo B é uma base ORTONORMAL de V .

Conclusão que se encontra na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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