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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 5

Considere as seguintes afirmações:

(I) se V for um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno < ⋅ , ⋅ > e W 1 e W 2 forem subespaços vetoriais de V tais que W 1   ⊂   W 2 , então a desigualdade

| | v - p r o j w 2 v | | ≤ | | v - p r o j w 1 v | | ≤

será válida para qualquer v   ∈   V , em que | | ⋅ | | denota a norma correspondente ao produto interno < ⋅ , ⋅ >

(II) se n for um inteiro positivo e A   ∈   M n ( R ) for uma matriz diagonalizável, então o conjunto das soluções reais do sistema de equações diferenciais

  X ' ( t )   =   A X ( t )

será um subespaço vetorial de dimensão n do espaço vetorial de todas as funções X   :   R   →   R n

(III) se {   e 1 ,   e 2 ,   e 3 } denotar a base canônica de R 3 e se ( r ,   s ,   t ) forem as coordenadas na base { e 3 ,   e 1 ,   e 2 } de um elemento do conjunto

{ ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3 :   5 x 2 +   7 y 2   -   2 z 2   =   10 }

então valerá que

- 2 r 2   +   5 s 2 +   7 t 2   =   10 .

(a) apenas as afirmações(I) e (II) são verdadeiras;

(b) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;

(c) todas as afirmações são verdadeiras;

(d) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;

(e) todas as afirmações são falsas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Show? Vamos nessa!!

Vamos começar pela terceira afirmação. Ela diz que se {   e 1 ,   e 2 ,   e 3 } denotar a base canônica de R 3 e se ( r ,   s ,   t ) forem as coordenadas na base { e 3 ,   e 1 ,   e 2 } (chamaremos de base 2 ) de um elemento do conjunto

{ ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3 :   5 x 2 +   7 y 2   -   2 z 2   =   10 }

então valerá que

- 2 r 2   +   5 s 2 +   7 t 2   =   10 .

E aí, como podemos verificar se essa afirmação é verdadeira? Ora, essa mudança de base apenas reordena os vetores da base canônica.ou seja, onde tem x vira s ; y vira t , e z , vira r

fazendo isso na primeira equação, obtemos

- 2 r 2   +   5 s 2 +   7 t 2   =   10 .

Ou seja, a terceira afirmação é verdadeira

Passo 2

A segunda afirmação diz que se n for um inteiro positivo e A   ∈   M n ( R ) for uma matriz diagonalizável, então o conjunto das soluções reais do sistema de equações diferenciais

  X ' ( t )   =   A X ( t )

será um subespaço vetorial de dimensão n do espaço vetorial de todas as funções X   :   R   →   R n

Ora, mas se A é diagonalizável, então temos solução para o sistema. Agora, para as soluções serem um espaço espaço vetorial precisamos mostrar que 0 é uma solução do sistema. E que a combinação linear de soluções é solução.

Começando com 0 ser solução:

Lembrando que

X ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , . . . . )

Então

  0   =   A ( 0,0 , 0 . . . ) T

⇒ 0 = 0

Logo, zero é a solução do sistema. Agora, suponha que ( x 1 ( t ) , y 1 ( t ) , . . . . ) e ( x 2 ( t ) , y 2 ( t ) , . . . . ) , sejam soluções do sistema de EDO. Será que a ( x 1 ( t ) , y 1 ( t ) , . . . . ) + b ( x 2 ( t ) , y 2 ( t ) , . . . . ) é solução?

  a ( x ' 1 ( t ) , y ' 1 ( t ) , . . . . ) + b ( x ' 2 ( t ) , y ' 2 ( t ) , . . . . ) ) = A ( a ( x ( t ) , y ( t ) , . . . . ) T + b ( x 2 ( t ) , y 2 ( t ) , . . . . ) T )

  a ( x ' 1 ( t ) , y ' 1 ( t ) , . . . . ) + b ( x ' 2 ( t ) , y ' 2 ( t ) , . . . . ) ) = A ( a ( x ( t ) , y ( t ) , . . . . ) T ) + A b ( x 2 ( t ) , y 2 ( t ) , . . . . ) T

mas por hipótese ( x 1 ( t ) , y 1 ( t ) , . . . . ) e ( x 2 ( t ) , y 2 ( t ) , . . . . ) são soluções. então

a ( x ' 1 ( t ) , y ' 1 ( t ) , . . . . ) = A ( a ( x ( t ) , y ( t ) , . . . . ) T )

e

b ( x ' 2 ( t ) , y ' 2 ( t ) , . . . . ) ) = A b ( x 2 ( t ) , y 2 ( t ) , . . . . ) T

Logo a igualdade é válida. Então a afirmação é verdadeira. Com isso, ao olharmos as alternativas, podemos concluir que todas as afirmações são verdadeiras. Condição presente na letra c )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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