Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

Ver Teoria
Exercício 451234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344464748495051525354

Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 6

Considere o espaço vetorial C ( R ) de todas as funções contínuas de R   e m   R e o subespaço S de C ( R )

gerado pelas funções:

S = [ c o s t ,   s e n   t ,   s e n ( 2 t ) ,   c o s ( 2 t ) ,   s e n   t   c o s t ,   c o s 2 t   e   s e n 2 t ]

Temos que a dimensão de S é igual a:

  1. 5
  2. 2
  3. 6
  4. 4
  5. 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos descobrir a dimensão do espaço gerado por

S = [ c o s t ,   s e n   t ,   s e n ( 2 t ) ,   c o s ( 2 t ) ,   s e n   t   c o s t ,   c o s 2 t   e   s e n 2 t ]

Como fazemos isso? Ora precisamos verificar quantos vetores LI tem em S . Nesse caso estamos trabalhando com funções trigonométricas, mas as definições de LI são as mesmas. Uma função será LD se for expressa como uma combinação linear das demais funções.

Mas vamos precisar utilizar algumas fórmulas das trigonométricas

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Bem, vamos começar analisando s i n ( 2 t )   e   c o s ( 2 t ) de

S = [ c o s t ,   s e n   t ,   s e n ( 2 t ) ,   c o s ( 2 t ) ,   s e n   t   c o s t ,   c o s 2 t   e   s e n 2 t ]

A fórmula da soma do seno é dada por

s i n ( a + b ) = s i n ( a ) c o s ( b ) + s i n ( b ) c o s ( a )

Logo

s i n ( 2 t ) = 2 s i n ( t ) c o s ( t )

Opa, mas s i n ( t ) c o s ( t ) está em S , logo podemos descrever s i n ( 2 t ) como uma combinação linear de elementos de S . Então esse vetor é LD.

Vamos checar c o s ( 2 t )

c o s ( a + b ) = c o s ( a ) c o s ( b ) - s i n ( a ) s i n ( b )

Logo

c o s ( 2 t ) = c o s 2 ( t ) - s i n 2 ( t )

Ou seja, podemos descrever c o s ( 2 t ) como uma combinação linear de elementos de S . Então esse vetor é LD. Conseguimos 2 vetores LD em S . Será que tem mais algum?

Bem, embora possamos escrever

s i n 2 ( t ) = 1 - c o s 2 ( t )

Como 1 não está em S , temos que   c o s 2 t   e   s e n 2 t serão LI. Logo os vetores LI de S são

c o s t ,   s e n   t ,   s e n   t   c o s t ,   c o s 2 t   e   s e n 2 t

Como temos 5 vetores LI, a dimensão do espaço gerado por S é 5

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se são espaços vetoriais os seguintes conjuntos:a) O R 2 com a adição usual e a multiplicação por escalar definida por α x , y = α x , 0 . b) O R 2 com x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( x 1 + 2 x 2
Sejam X um conjunto não vazio e V um espaço vetorial. Mostre que, com as definições naturais de soma e multiplicação por escalar de funções, o conjunto das funções de X em V , F (X; V ), é um espaço v
Nos exercícios 5-6, em cada parte esboce, com ponto incial na origem, o vetor determinado pelos dois pontos dados.6 (a) P1(-1,0,2), P2(0,-1,0)
34 Seja P o ponto 1 ,3 ,7 . Se o ponto 4 ,0 ,- 6 for o ponto médio do segmento de reta que liga P e Q, quem é Q?
O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam. A = 0 a b