Considere o espaço vetorial C ( R ) de todas as funções contínuas de R   e m   R e o subespaço S de C ( R )

gerado pelas funções:

S = [ c o s t ,   s e n   t ,   s e n ( 2 t ) ,   c o s ( 2 t ) ,   s e n   t   c o s t ,   c o s 2 t   e   s e n 2 t ]

Temos que a dimensão de S é igual a:

  1. 5
  2. 2
  3. 6
  4. 4
  5. 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos descobrir a dimensão do espaço gerado por

S = [ c o s t ,   s e n   t ,   s e n ( 2 t ) ,   c o s ( 2 t ) ,   s e n   t   c o s t ,   c o s 2 t   e   s e n 2 t ]

Como fazemos isso? Ora precisamos verificar quantos vetores LI tem em S . Nesse caso estamos trabalhando com funções trigonométricas, mas as definições de LI são as mesmas. Uma função será LD se for expressa como uma combinação linear das demais funções.

Mas vamos precisar utilizar algumas fórmulas das trigonométricas

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Bem, vamos começar analisando s i n ( 2 t )   e   c o s ( 2 t ) de

S = [ c o s t ,   s e n   t ,   s e n ( 2 t ) ,   c o s ( 2 t ) ,   s e n   t   c o s t ,   c o s 2 t   e   s e n 2 t ]

A fórmula da soma do seno é dada por

s i n ( a + b ) = s i n ( a ) c o s ( b ) + s i n ( b ) c o s ( a )

Logo

s i n ( 2 t ) = 2 s i n ( t ) c o s ( t )

Opa, mas s i n ( t ) c o s ( t ) está em S , logo podemos descrever s i n ( 2 t ) como uma combinação linear de elementos de S . Então esse vetor é LD.

Vamos checar c o s ( 2 t )

c o s ( a + b ) = c o s ( a ) c o s ( b ) - s i n ( a ) s i n ( b )

Logo

c o s ( 2 t ) = c o s 2 ( t ) - s i n 2 ( t )

Ou seja, podemos descrever c o s ( 2 t ) como uma combinação linear de elementos de S . Então esse vetor é LD. Conseguimos 2 vetores LD em S . Será que tem mais algum?

Bem, embora possamos escrever

s i n 2 ( t ) = 1 - c o s 2 ( t )

Como 1 não está em S , temos que   c o s 2 t   e   s e n 2 t serão LI. Logo os vetores LI de S são

c o s t ,   s e n   t ,   s e n   t   c o s t ,   c o s 2 t   e   s e n 2 t

Como temos 5 vetores LI, a dimensão do espaço gerado por S é 5

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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