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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 2

Seja V um espaço vetorial real de dimensão 3 munido de um produto interno e seja { e 1 ,   e 2 ,   e 3 } uma base ortonormal de V . Considere o subespaço vetorial W de V dado por

W   =   [ 2 e 1   +   e 2 ,   - 5 e 2   +   2 e 3 ]

e seja v   =   e 1   -   e 2 . Temos que a projeção ortogonal de v em W é igual a:

  1. 9 e 1   -   8 e 2   +   5 e 3
  2. 2 5 e 1   - 96 145 e 2   + 10 29 e 3
  3. 9 10 e 1   - 4 5 e 2   + 1 2 e 3
  4. e 1   -   2 e 2   +   e 3 ;
  5. 2 e 1   +   6 e 2   -   2 e 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir é a projeção ortogonal de v   =   e 1   -   e 2 em

W   =   [ 2 e 1   +   e 2 ,   - 5 e 2   +   2 e 3 ]

Por definição, a projeção ortogonal é dada por

p r o j w v = p r o j w 1 v + p r o j w 2 v

w i são os vetores de uma base ortogonal de W e

p r o j w 1 v = v . w 1 w 1 . w 1 w 1

Show? Vamos nessa!!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é verificar se os vetores da base de W SÃO ORTOGONAIS. como

W   =   [ 2 e 1   +   e 2 ,   - 5 e 2   +   2 e 3 ]

< 2 e 1   +   e 2   , - 5 e 2   +   2 e 3 > = - 5

Mas precisamos de uma base ortogonal para fazer a projeção. Então vamos construir uma.

Usando o processo de Gram-Schmidt. Fazendo isso obtemos a seguinte base

W   =   [ 2 e 1   +   e 2 ,   e 1 - 2 e 2 + e 3 ]

Dessa forma a nossa projeção de v   =   e 1   -   e 2 sobre W fica

p r o j w v = p r o j w 1 v + p r o j w 2 v

= ( e 1   -   e 2 ) ( 2 e 1   +   e 2 ) ( 2 e 1   +   e 2 ) . ( 2 e 1   +   e 2 ) ( 2 e 1   +   e 2 ) + ( e 1   -   e 2 ) ( e 1 - 2 e 2 + e 3 ) ( e 1 - 2 e 2 + e 3 ) . ( e 1 - 2 e 2 + e 3 ) ( e 1 - 2 e 2 + e 3 )

= 9 10 e 1   - 4 5 e 2   + 1 2 e 3

Logo a projeção ortogonal é 9 10 e 1   - 4 5 e 2   + 1 2 e 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e)

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