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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Sobre os conjuntos:

A = { p x = a + b x + c x 2 ∈ P 2 | a + b = 2 }

W = { p ∈ P 2 | a = b = 1 }

E sabendo que W é munido das operações:

1 + x + c 1 x 2 ∔ 1 + x + c 2 x 2 = 1 + x + c 1 2 + c 2 x 2

λ * 1 + x + c x 2 = 1 + x + λ c x 2

  1. Se p 1 , p 2 ∈ A , então p 1 + p 2 ∈ A
  2. W é um espaço vetorial

É correto afirmar sobre as afirmações acima que:

a I e II são verdadeiras

b I é verdadeira e II é falsa

c I e II são falsas

d I é falsa e II é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I

Como não se falou nada a respeito das operações de A , iremos utilizar as usuais, beleza?! Vamos usar dois polinômios de W :

p 1 x = a 1 + b 1 x + c 1 x 2

p 2 x = a 2 + b 2 x + c 2 x 2

Somando esses polinômios:

p 1 x + p 2 x = a + b x + c x 2 = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 x + c 1 + c 2 x 2

Agora precisamos testar a condição do conjunto, precisamos que a + b = 2 , então:

a 1 + a 2 + b 1 + b 2 = 2

Podemos reordenar essa soma:

a 1 + a 2 + b 1 + b 2 = 2

a 1 + b 1 + a 2 + b 2 = 2

Como p 1 x   e   p 2 x pertencem a A sabemos que a 1 + b 1 = 2 . Então:

a 1 + b 1 + a 2 + b 2 = 2

2 + 2 = 2

4 = 2

Bom, então a afirmativa é falsa, pois 4 ≠ 2 .

Passo 2

Afirmativa II

Olhando as operações de soma e produto por escalar definidas, vemos que ambas resultam em vetores do tipo:

1 + x + c x 2

Portanto, para saber se W é um espaço vetorial devemos testar os axiomas, show de bola?!

1. Vamos tentar provar se a soma é comutativa. Vamos pegar dois polinômios de W :

1 + x + c 1 x 2 e 1 + x + c 2 x 2

Se os dois forem comutativas então, temos que:

1 + x + c 1 x 2 ∔ 1 + x + c 2 x 2 = 1 + x + c 2 x 2 ∔ 1 + x + c 1 x 2

Agora precisamos aplicar exatamente a operação de W definida no enunciado. Nele dizia que:

1 + x + c 1 x 2 ∔ 1 + x + c 2 x 2 = 1 + x + c 1 2 + c 2 x 2

Então, agora desenvolvendo os dois lados da equação que encontramos respeitando a operação, temos:

1 + x + c 1 x 2 ∔ 1 + x + c 2 x 2 = 1 + x + c 2 x 2 ∔ 1 + x + c 1 x 2

1 + x + c 1 2 + c 2 x 2 = 1 + x + c 2 2 + c 1 x 2

O que implica

c 1 2 + c 2 = c 2 2 + c 1

O que claramente não é verdade para todo c 1 e c 2 reais!

Portanto, a afirmativa é falsa!

Resposta

Letra c

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