USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 14
Seja um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno e denote por
a norma correspondente. Considere as seguintes afirmações:
(I) se são subespaços de , então ;
(II) para quaisquer , vale que se, e somente se, são linearmente
dependentes;
(III) se e se são dois a dois ortogonais e não nulos, então é igual a .
Assinale a alternativa correta:
(a) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
(b) Todas as afirmações são verdadeiras.
(c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
(d) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
(e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir quais afirmações são verdadeiras. Bem então vamos checar cada uma delas.
Como hipóteses, temos que é um espaço vetorial com produto interno. A primeira afirmação diz que
se são subespaços de , então ;
Como podemos verificar essa afirmação? Para isso, precisamos lembrar da seguinte prorpriedade do complemento ortogonal. Seja
então,
O que faz sentido, já que se um elemento é ortogonal a todos os elementos de ele será ortogonal a todos os elementos de .
Então, como:
Usando nossa propriedade, temos:
Ora mas se está em dois conjuntos simultaneamente, isso quer dizer que ele está na interseção desses conjuntos. Logo
Passo 2
Mostramos que
Agora vamos verificar se
Seja, , então para todos tem-se:
Pois está no complemento ortogonal de .
Mas isso é verdade para todos , logo todos esses vetores são ortogonais a . Então:
Ou seja,
Dessa forma, provamos que
Passo 3
Vamos para a segunda afirmação ela diz que para quaisquer , vale que se, e somente se, são linearmente dependentes;
E ai? Será que é verdade? Vamos pegar dois vetores LD bem simples os vetores
Temos que
E dessa forma, mostramos que essa afirmação é falsa
Passo 4
Para finalizar, a terceira afirmação diz que se e se são dois a dois ortogonais e não nulos, então é igual a .
Então vamos pensar aqui. Temos uma coleção de vetores, onde eles são dois a dois ortogonais, isto é, são todos ortogonais entre si. Logo serão linearmente independentes.
Mas se temos um conjunto de vetores LI em um espaço de dimensão então podemos gerar esse espaço com esses vetores LI. Logo
é igual a
A afirmação é verdadeira. Dessa forma, vimos que a primeira e terceira afirmações são verdadeiras.
Logo devemos marcar a alternativa
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊