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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, Psub - 2017, Questão 7

Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual e os vetores:

v 1   =   ( 1 , - 1,2 , 1 ) , v 2   =   ( 1 , 1,1 , - 2 ) , v 3   =   ( 2,1 , - 1,1 ) e v 4   =   ( 1,1 , 1,1 ) .

Aplicando-se o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt ao conjunto { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } , obtemos o conjunto ortogonal { w 1 , w 2 , w 3 , w 4 } . Temos que a soma das coordenadas do vetor w 4 é igual a:

  1. 6 / 7
  2. 12 / 7
  3. 9 / 7
  4. 3
  5. 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir qual soma das coordenadas do vetor w 4 . Onde { w 1 , w 2 , w 3 , w 4 } é uma base ortogonal gerada pelo processo de Gram–Schmidt na base { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }

v 1   =   ( 1 , - 1,2 , 1 ) , v 2   =   ( 1 , 1,1 , - 2 ) , v 3   =   ( 2,1 , - 1,1 ) e v 4   =   ( 1,1 , 1,1 )

Lembrando que processo de ortogonalização de Gram-Schmidt de uma base v = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } é feito pelo processo iterativo

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - p r o j w 1 v 2

w 3 = v 3 - p r o j w 1 v 3 - p r o j w 2 v 3

e assim por diante.

E que

p r o j w i v i = < v i , w i > < w i , w i > w i

Vamos calcular a nova base!!!!

Passo 2

Como v 1   =   ( 1 , - 1,2 , 1 ) , v 2   =   ( 1,1 , 1 , - 2 ) , v 3   =   ( 2,1 , - 1,1 ) e v 4   =   ( 1,1 , 1,1 )

Pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt que revisamos no passo anterior, Mas note que v 1 , v 2 , v 3 já são ortogonais, logo só precisamos realizar a última etapa do processo de Gram-Schmidt.

Então, como v 1 , v 2 , v 3 são ortogonais

w 1 = v 1

w 2 = v 2

w 3 = v 3

w 4 = v 4 - p r o j w 1 v 4 - p r o j w 2 v 4 - p r o j w 3 v 4

= v 4 - < v 2 , w 1 > < w 1 , w 1 > w 1 - < v 4 , w 2 > < w 2 , w 2 > w 2 - < v 4 , w 3 > < w 3 , w 3 > w 3

= ( 1,1 , 1,1 ) - 3 7 ( 1 , - 1,2 , 1 ) - 1 7 ( 1,1 , 1 , - 2 ) - 3 7 ( 2,1 , - 1,1 )

= 1 7 ( - 3,6 , 3,3 )

Então

w 4 = 1 7 ( - 3,6 , 3,3 )

E a soma das suas entradas é

9 7

Valor presente na letra c )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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