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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – P3 – 2016

Q9. Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual e seja T : R 4 → R 4 um operador linear simétrico cujo polinômio característico é p T t = t - 3 2 t - 4 2 . Se

T 1,0 , 1,0 = 4,0 , 4,0 , T 0,1 , 0,1 = 0,3 , 0,3 e T 1 , - 1 , - 1,1 = 4 , - 4 , - 4,4 ,

Então T 2,0 , - 2,0 é igual a:

a) 7,1 , - 1,7 ;

b) 7 , - 1 , - 7,1 ;

c) 1,7 , - 7 , - 1 ;  

d) - 7,1 , 7 , - 1 ;  

e) 1 , - 7,7 , - 1

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular T 2,0 , - 2,0 .

Pra isso vamos lembrar que, pra uma transformação linear T , um vetor u é autovetor associado ao autovalor λ se:

T u = λ u

E também que para um operador linear simétrico os autovetores são ortogonais.

Passo 2

Calculando os autovalores, a partir do polinômio característico:

t - 3 2 t - 4 2 = 0

Achamos t = 3 e t = 4 . Cada um com multiplicidade dois.

Como T 1,0 , 1,0 = 4,0 , 4,0 , então:

  T 1,0 , 1,0 = 4 1 , 0 , 1 , 0

Daí podemos dizer que 1,0 , 1,0 é autovetor associado a 4.

Fazendo a mesma coisa pros outros, achamos que {(1,0,1,0).(1,-1,-1,1)} são os autovetores associados ao autovalor 4. E que 0,1 , 0,1 é autovetor associado ao autovalor 3.

Como o autovalor 3 tem multiplicidade dois, então tá faltando um autovetor associado a ele, certo?

Passo 3

Vamos escrever um vetor qualquer pra representar esse autovetor que está faltando:

x , y , z , w

Pra encontrar, vamos usar o fato dos autovetores serem ortogonais:

1,0 , 1,0 ⋅ x , y , z , w = 0

x + z = 0

0,1 , 0,1 ⋅ x , y , z , w = 0

y + z = 0

1 , - 1 , - 1,1 ⋅ x , y , z , w = 0

x - y - z + w = 0

Resolvendo o sistema:

x , y , z , w = x 1,1 , - 1,1

Então o autovetor será ( 1,1 , - 1 , - 1 ) .

E a transformação dele:

T 1,1 , - 1 , - 1 = 3 1,1 , - 1 , - 1

= 3,3 , - 3 , - 3

Passo 4

Agora precisamos achar qual a combinação linear desses quatro vetores que vai dar 2,0 , - 2,0 .

2,0 , - 2,0 = a 1,0 , 1,0 + β 0,1 , 0,1 + γ 1 , - 1 , - 1,1 + δ 1,1 , - 1 , - 1

Resolvendo o sistema:

α = β = 0

γ = δ = 1

Então:

T 2,0 , - 2,0 = T 1 , - 1 , - 1,1 + T 1,1 , - 1 , - 1

= 4 , - 4 , - 4,4 + 3,3 , - 3 , - 3

= 7 , - 1 , - 7,1

Letra b

Resposta

Letra b

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