UFES, Cálculo I, Lista 7, 2018.1, questão 15c
Considere as funções
e
(c) Determine o conjunto onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular .
Passo 1
Faaaaala, galeeeera! Tudo certinho?
O que precisamos fazer nessa questãozinha é determinar o intervalo de derivação onde a função composta é válida para usar a regra da cadeia. Para isso, precisamos obter o domínio deste conjunto e vamos fazer isso investigando a continuidade das funções e das derivadas de e .
Primeiramente, vamos derivar a e a .
Como temos o módulo na , devemos abrir este módulo:
Derivando
Derivando
Passo 2
Agora vamos analisar o domínio das funções. O domínio nada mais é que o conjunto de entradas permitidas na função, ou seja, todos os valores de para os quais a função existe.
Olhando pra vemos que todas as partes por si só são contínuas, então precisamos conferir se nos pontos e onde as partes se encontram as derivadas são iguais:
Como são diferentes, e não pertencem ao domínio.
Logo,
Fazendo o mesmo para quando , temos:
Então:
Passo 3
Por fim vamos analisar o domínio da função completa.
Pela definição:
Assim, o domínio do conjunto será a interseção dos domínios de e .
Logo
Prontinho! Até mais!
