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Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

8. Sejam funções f , g : R → R com f par e g ímpar. Considere as afirmações:

  1. f . g é ímpar;
  2. f   ° g é par;
  3. f   ° g é ímpar.

São verdadeiras:

  1. Somente I
  2. Somente II
  3. Somente III
  4. Somente I e II
  5. Somente II e III

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos algumas informações e temos que julgar quais são verdadeiras.

O enunciado nos afirmou que f é par, ou seja,

f x = f - x

Já g é impar, ou seja,

- f x = f - x

Agora vamos avaliar cada afirmação!

Passo 2

A primeira diz que: f . g é ímpar, ou seja, se multiplicarmos as duas funções teremos uma função impar.

Vamos avaliar uma função h x onde,

h x = f x g x

Logo,

h - x = f - x . g - x

Sabendo que f x é par e g x é impar podemos dizer que

h - x = f x - g x = - f x g x = - h x

Ou seja, h x é uma função impar. Então f . g é ímpar e a sentença é verdadeira.

Passo 3

Agora temos que f   ° g é par, ou seja, f g x é par. Vamos avaliar nossa função para - x . Fica assim,

f g - x = f - g x

Mas como f x é par, temos que

f g x = f - g x

Logo, a nossa afirmação é verdadeira.

Sendo assim só temos uma opção possivel: I e II são verdadeiras.

Resposta

d

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