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Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Sejam as seguintes funções

f x = x - 1 x 2 + 1

E

g x = 2 x + 3

Determine as seguintes funções

y x = f ∘ g x + g ∘ f x

Passo 1

Aqui ele quer a soma das compostas f ∘ g x e g ∘ f x .

Vamos começar com   f ∘ g x , essa função na verdade vai ser

f ∘ g x = f g x

Vamos trocar g x pela fórmula dela

f ∘ g x = f 2 x + 3

Isso quer fizer que a nossa função composta vai ser

f ∘ g x = 2 x + 3 - 1 2 x + 3 2 + 1

f ∘ g x = 2 x + 2 4 x 2 + 12 x + 9 + 1

f ∘ g x = 2 x + 2 4 x 2 + 12 x + 10

Passo 2

Agora só falta g ∘ f x . Podemos escrevê-la como

g ∘ f x = g f x

Trocando a f x pela sua equação vamos ter

g ∘ f x = g x - 1 x 2 + 1

Trocando isso na equação de g x vamos ter

g ∘ f x = 2 x - 1 x 2 + 1 + 3

g ∘ f x = 2 x - 2 x 2 + 1 + 3

g ∘ f x = 2 x - 2 + 3 x 2 + 3 x 2 + 1

g ∘ f x = 3 x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1

Passo 3

Vamos agora para a soma das compostas

y x = f ∘ g x + g ∘ f x

y x = 2 x + 2 4 x 2 + 12 x + 10 + 3 x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1

Arrumando isso vai ficar

y x = 2 x + 2 x 2 + 1 + 4 x 2 + 12 x + 10 3 x 2 + 2 x + 1 4 x 2 + 12 x + 10 x 2 + 1

y x = 2 x 3 + 2 x + 2 x 2 + 2 + 12 x 4 + 8 x 3 + 4 x 2 + 36 x 3 + 24 x 2 + 12 x + 30 x 2 + 20 x + 10 4 x 4 + 4 x 2 + 12 x 3 + 12 x + 10 x 2 + 10

y x = 12 x 4 + 46 x 3 + 60 x 2 + 34 x + 12 4 x 4 + 12 x 3 + 14 x 2 + 12 x + 10

Todos os coeficientes são pares, então podemos dividir geral por 2

y x = 6 x 4 + 23 x 3 + 30 x 2 + 17 x + 6 2 x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 + 6 x + 5

Resposta

y x = 6 x 4 + 23 x 3 + 30 x 2 + 17 x + 6 2 x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 + 6 x + 5

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