UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Provas - Profº Alexandre - P1 2014.2, Questão 2
Sejam e . Determine a composta e seu domínio.
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos descobrir a função composta e seu domínio sendo que:
Mas o que é essa função composta??
Então... Função composta é a aplicação de uma função em outra função, conhecida também como função de função.
Dada a função e , a função composta de com pode ser representada por , que nada mais é que a composição .
Agora vamos aplicar esse conceito na nossa função!!
😉
Passo 2
Assim, para a função composta , ou seja, substituindo na função , temos:
Agora temos que determinar o domínio .
Para isso, o domínio de é o conjunto de valores de para os quais a expressão dentro do logaritmo é positiva.
Isso ocorre porque o logaritmo natural só está definido para números positivos.
Passo 3
Assim, para encontrar o domínio, temos que resolver a seguinte desigualdade:
Primeiro, note que é sempre positivo, pois a soma de um quadrado e é sempre maior que zero. Portanto, não precisamos nos preocupar com o denominador sendo zero.
Agora, vamos considerar o numerador . Para determinar quando essa expressão é positiva, precisamos considerar os casos em que é positivo, negativo ou zero.
- Para :
- Para :
- Para :
Nesse caso, , e a expressão é positiva.
Dessa forma, a fração é positiva.
Nesse caso, , e a expressão também é positiva.
Dessa forma, a fração é positiva.
Nesse caso, , e a expressão é positiva.
Dessa forma, a fração é positiva.
Nesse sentido, como não houve nenhuma restrição, podemos concluir que o domínio são todos os números reais!!
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
