Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Considere as funções

g x = 1 ,     x < - 1 | x | ,     x ≥ - 1 e f x = 1 ,     x < 0 1 - x 2 ,     x ≥ 0

(f) Esboce os gráficos de   f , g e ( f ∘ g ) ( x )

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Como estão, tudo belezinha?

Nessa questão vamos desenhar um gráfico para a função f   a g e a composta ( f ∘ g ) ( x ) entre as duas.

Esboçando a f ( x ) :

Teremos uma linha reta ( c o n s t a n t e = 1 ), quando temos valores negativos de x . E teremos 1 - x 2 quando temos valores maiores ou iguais a zero.

Vamos encontrar as raízes da equação do segundo grau.

1 - x 2 = 0

- 1 = - x 2

Podemos tirar a raiz

x 2 = 1

x = 1

x = ± 1

Essa função intercepta o eixo y quando x = 0 , em

y = 1 - 0 2 = 1

Então o ponto que a função corta o eixo y é P = ( 0,1 ) . Podemos então esboçar esse gráfico. Como - x 2 é negativo, a concavidade é voltada para baixo, ok?

Passo 2

Agora, traçando o gráfico de g ( x ) . Temos que ver que quando x < - 1 nossa função é uma c o n s t a n t e = 1 e quando x ≥ - 1 a função de determinar por um módulo. O módulo rebate todos os valores negativos para a parte positiva do gráfico.

g x = 1 ,     x < - 1 | x | ,     x ≥ - 1

Para traçar | x | , basta plotar alguns pontos.

x = 0 ⇒ y = 0

x = 1 ⇒ y = 1

x = - 1 ⇒ y = - 1 = 1

Passo 3

Por fim, para ( f ∘ g ) ( x ) , teremos a c o n s t a n t e = 0 para x < - 1 e a mesma função quadrática da f ( x ) para   x ≥ - 1 .

f g x = 0 ,     x < - 1 1 - x 2 ,     x ≥ - 1

Prontinho! Até mais!

Resposta

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