UFSCAR – Cálculo 1 – Lista 1 – Revisão de Funções – 3d
Determine o “maior” conjunto tal que , em seguida, determine a composta .
d) e ,
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente determinar o “maior” conjunto tal que . Quê que isso quer dizer? Repara que nós temos duas funções, e , e que a imagem de está contida no domínio de , ou seja . Tá, e daí? E daí que se a imagem de uma tá no domínio da outra significa que elas formam uma função composta:
E o enunciado pediu pra gente determinar essa função também. Mas, a primeira coisa que ele quer é que a gente determine o conjunto , que nada mais é do que o domínio da função . Pra fazer isso a gente vai precisar encontrar o domínio de , , a imagem contida nesse domínio e como elas formam uma função composta, poderemos encontrar o conjunto .
Vamos lá!
Passo 2
Primeiramente devemos determinar o domínio de . Como a gente faz isso? A nossa função tem a forma:
A precisa determinar os valores que podem assumir pra determinar o domínio. E aí fica mais fácil a gente pensar, quais valores não pode assumir nessa função?
Bom, nós temos uma raiz quadrada e nós sabemos que não dá pra ter raiz quadrada de número negativo. Então, o que tá dentro da raiz precisa ser positivo, ou seja, maior ou igual a zero:
Isolando , temos:
Calculando a raiz dos dois lados, temos , então:
Esses valores os valores que não pode assumir, então o domínio é todo o resto dos números reais, e nós podemos escrever:
Passo 3
Agora nós vamos encontrar a imagem de , que deve está contida nesse domínio, ou seja, no intervalo que encontramos. Mas o que é a imagem de ?
A imagem de vai ser o nosso , que é valor associado a cada número real . Mas, nesse caso, ela precisa dentro do domínio . Então vamos analisar cada intervalo do domínio:
Para , temos a nossa :
Isolando :
Tirando a raiz dos dois lados:
Agora para o segundo intervalo, . Assim,
Isolando :
Tirando a raiz dos dois lados:
Juntando tudo nós temos o conjunto dado por:
Passo 4
Agora nós podemos determinar a função composta .
Como temos e , e é uma função de , basta a gente substituir em :
Expandindo a potência:
Prontinho, galera! Encerramos o exercício. 😉