Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

  1. Seja f :   R → R a função definida pelo gráfico

A lei que define f é

  1. f x =   x + 2 ,       s e   x < 0 2 ,     s e   0 ≤ x < 4 x 2 - x ,     s e   x ≥ 4 ;
  2. f x =   x ,     s e   x   é   p a r 1 ,     s e   x   é   í m p a r ;
  3. f x =   x ,       s e   x ≤ 1 1 ,     s e   1 < x < 4 5 - x ,     s e   x ≥ 4 ;
  4. f x =   1 ,       s e   x ≤ 1 x ,     s e   1 < x < 4 - x ,     s e   x ≥ 4 ;
  5. f x =   x + 2 ,       s e   x < 1 1 ,     s e   1 ≤ x ≤ 4 x - 2 ,     s e   x > 4 .

Passo 1

Fala aí pessoal! Nos deparamos com um probleminha para a gente encontrar a lei de uma função a partir desse gráfico aqui

Encontrar a lei é encontrar a expressão que define essa função em vermelho que apareceu para a gente. Vamos primeiro entender o comportamento dela e daí a gente parte para resolver esse problema. Bom, a primeira coisa que a gente percebe é que a nossa função tem 3 intervalos:

  • Ela começa como uma reta de inclinação positiva (algo com a cara a x + b , com a > 0 ) até o x = 1 ;
  • Daí ela vira uma função constante f x = 1 de x = 1 até x = 4 ;
  • Por fim, ela se torna uma reta com inclinação negativa (algo com a cara - a x + b , com a > 0 ) e continua assim até o final.

Com isso em mente já dá para eliminar algumas alternativas né? Só dá para ser ou a letra c. ou a letra e. Mas vamos lá encontrar essas funções aí!

Passo 2

Vamos começar com a primeira reta. Precisamos encontrar quem é a e b de:

f x = a x + b

A gente faz isso pegando dois pontos do gráfico. Vamos pegar x = 0 e x = 1 pois sabemos o resultado da função nesses pontos: f 1 = 1 → a . 1 + b = 1 f 0 = 0 → a . 0 + b = 0

Da última expressão temos

b = 0

Devolvendo isso na primeira, a gente encontra

a = 1

Dessa maneira, para x ≤ 1 temos

f x = x

Passo 3

A parte do meio é de boa. Para 1 < x < 4 temos uma função constante

f x = 1

Passo 4

Por fim, vamos fazer a mesma coisa para descobrir a cara da última reta. Precisamos encontrar quem é a e b de:

f x = - a x + b

A gente faz isso pegando dois pontos do gráfico. Vamos pegar x = 4 e x = 5 pois sabemos o resultado da função nesses pontos: f 4 = 1 → - a . 4 + b = 1 f 5 = 0 → - a . 5 + b = 0

As duas expressões nos dão o sistema

- 4 a + b = 1 - 5 a + b = 0

Fazendo a primeira expressão menos a segunda temos

- 4 a + b + 5 a - b = 1 a = 1

Devolvendo o valor de a na primeira expressão temos

- 4 + b = 1 → b = 5

Opa! Com isso a gente tem a expressão da função para x ≥ 4 :

f x =   - x + 5   o u   5 - x

Passo 5

Juntando os nossos resultados temos

f x =   x ,       s e   x ≤ 1 1 ,     s e   1 < x < 4 5 - x ,     s e   x ≥ 4 ;

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra C.

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