UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Provas - Profº Alexandre - P1 2015.1, Questão 3
Sejam as funções e . Determine a expressão de , dê seu domínio, e dê a equação da reta que é tangente ao gráfico de quando .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos descobrir a função composta , seu domínio e a equação da reta que é tangente ao gráfico de quando , sendo que:
Eita... muita coisa, né? Mas vamos devagarinho...
Primeiramente... o que é essa função composta??
Então... Função composta é a aplicação de uma função em outra função, conhecida também como função de função.
Dada a função e , a função composta de com pode ser representada por , que nada mais é que a composição .
Em seguida, vamos apresentando os outros termos que a questão pede, combinado?
Agora vamos aplicar esse conceito na nossa função!!
😉
Passo 2
Assim, para a função composta , ou seja, substituindo na função , temos:
Agora temos que determinar o domínio .
Para isso, precisamos considerar que a raiz quadrada só está definida para valores não negativos.
Portanto, o domínio da função será limitado pelos valores de que tornam não negativo.
Dessa forma, sabemos que a função seno varia da seguinte forma:
Assim, adicionando , vemos:
Logo, como é sempre maior ou igual a zero para todos os valores de , não há restrições no domínio em termos de .
Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais, ou seja,.
Passo 3
Por fim, a questão nos pede a equação da reta que é tangente ao gráfico de quando .
Em outras palavras, a questão quer que derivemos e, em seguida, substituiremos .
A gente acabou de ver que
Logo, pela regra da cadeia, a derivada é dadapor:
Assim, no ponto , temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
