Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y'' + k*y = 0 para k ≠ 0

Passo 1

A equação diferencial que você apresentou é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficiente constante k:

y ' '   +   k y   =   0 .

Essa equação é conhecida como a equação diferencial harmônica simples.

A solução depende do valor de k.

Vou apresentar as soluções gerais para diferentes valores de k:

  1. Caso k > 0:

Se k é um valor positivo, as soluções são trigonométricas e estão relacionadas a oscilações.

A solução geral é dada por:

y t =   C 1   * cos ⁡ k *   t +   C 2   * sin ⁡ k *   t

Passo 2

  1. Caso k

Se k é um valor negativo, as soluções são exponenciais e estão relacionadas a decaimentos e crescimentos amortecidos.

A solução geral é dada por:

y t =   C 1   *   e - k *   t +   C 2   *   e - - k *   t

              =   C 1   *   e i k *   t +   C 2   *   e - i k *   t

              =   A   * cos ⁡ k *   t +   B   * sin ⁡ k *   t

onde i é a unidade imaginária, A e B são constantes reais e C1, C2 são constantes complexas.

Em ambos os casos, você precisa determinar as constantes C1 e C2 (ou A e B) usando as condições iniciais ou informações adicionais fornecidas no problema.

Resposta

              y ( t ) =   A   * cos ⁡ k *   t +   B   * sin ⁡ k *   t

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