Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial

a) y'' - y = 0, y1(t) = e^t, y2(t) = cosh(t)

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

y ' ' - y = 0

E perguntou se essas aqui são soluções

y 1 t = e t ,   y 2 t = cosh ⁡ t

E agora?

Uma função é solução de uma equação diferencial quando substituímos ela e sua derivada na equação e temos uma igualdade!

Beleza?

Então a ideia aqui é: derivar e substituir as funções na equação e verificar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa equação diferencial

y ' ' - y = 0

Vamos testar a primeira solução

y 1 t = e t

Derivando temos

y 1 ' = e t = y 1 ' '

Substituindo na equação temos

e t - e t = 0

0 = 0

Ok! Temos que y 1 é solução!

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda solução

y 2 t = cosh ⁡ t

Derivando temos

y 2 ' = sinh ⁡ t

y 2 ' ' = cosh ⁡ t

Beleza? Substituindo na equação

cosh ⁡ t - cosh ⁡ t = 0

0 = 0

Oba! Temos que essa também é solução!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y 1 e   y 2 s ã o   s o l u ç õ e s

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