Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial

e) 2*t^2*y'' + 3*t*y' - y = 0, t > 0, y1(t) = t^(1/2), y2(t) = t^(-1)

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

2 t 2 y ' ' + 3 t y ' - y = 0

E perguntou se essas aqui são soluções

y 1 t = t 1 2 ,   y 2 t = t - 1

E agora?

Uma função é solução de uma equação diferencial quando substituímos ela e sua derivada na equação e temos uma igualdade!

Beleza?

Então a ideia aqui é: derivar e substituir as funções na equação e verificar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa equação diferencial

2 t 2 y ' ' + 3 t y ' - y = 0

Vamos testar a primeira solução

y 1 t = t 1 2

Derivando temos

y 1 ' = 1 2 t - 1 2

y 1 ' ' = - 1 4 t - 3 2

Substituindo na equação temos

2 t 2 - 1 4 t - 3 2 + 3 t 1 2 t - 1 2 - t 1 2 = 0

Ops! Temos que y 1 não é solução! Não encontramos uma igualdade

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda solução

y 2 t = t - 1

Derivando temos

y 2 ' = - 1 t - 2

y 2 ' ' = 2 t - 3

Beleza? Substituindo na equação

2 t 2 y ' ' + 3 t y ' - y = 0

2 t 2 2 t - 3 + 3 t - t - 2 - t - 1 = 0

4 t - 1 - 3 t - 1 - t - 1 = 0

0 = 0

Oba! Temos que essa sim é solução!

Sendo assim y 1 não é solução e   y 2   é solução

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y 1 n ã o   é   s o l u ç ã o   e   y 2   é   s o l u ç ã o

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