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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

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Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 2e

Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial

e ) 2 t 2 y ' ' + 3 t y ' - y = 0 , t > 0 ,   y 1 t = t 1 2 ,   y 2 t = t - 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

2 t 2 y ' ' + 3 t y ' - y = 0

E perguntou se essas aqui são soluções

y 1 t = t 1 2 ,   y 2 t = t - 1

E agora?

Uma função é solução de uma equação diferencial quando substituímos ela e sua derivada na equação e temos uma igualdade!

Beleza?

Então a ideia aqui é: derivar e substituir as funções na equação e verificar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa equação diferencial

2 t 2 y ' ' + 3 t y ' - y = 0

Vamos testar a primeira solução

y 1 t = t 1 2

Derivando temos

y 1 ' = 1 2 t - 1 2

y 1 ' ' = - 1 4 t - 3 2

Substituindo na equação temos

2 t 2 - 1 4 t - 3 2 + 3 t 1 2 t - 1 2 - t 1 2 = 0

Ops! Temos que y 1 não é solução! Não encontramos uma igualdade

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda solução

y 2 t = t - 1

Derivando temos

y 2 ' = - 1 t - 2

y 2 ' ' = 2 t - 3

Beleza? Substituindo na equação

2 t 2 y ' ' + 3 t y ' - y = 0

2 t 2 2 t - 3 + 3 t - t - 2 - t - 1 = 0

4 t - 1 - 3 t - 1 - t - 1 = 0

0 = 0

Oba! Temos que essa sim é solução!

Sendo assim y 1 não é solução e   y 2   é solução

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y 1 n ã o   é   s o l u ç ã o   e   y 2   é   s o l u ç ã o

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2